[机器学习]计算学习理论

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基本概念

计算学习理论的目的

分析学习任务的困难本质，为学习算法提供理论保证，并根据分析结果指导算法设计。

泛化误差与经验误差

• 泛化误差：输入输出映射 $h(\mathcal{X})\mapsto\mathcal{Y}$ 在整个样本空间 $\mathcal{D}$ 上所表现出的误差。

  $E(h;\mathcal{D})=P_{x\sim\mathcal{D}}(h(x)\neq y)$

  任意两个映射之间的不合：$d(h_1,h_2)=P_{x\sim\mathcal{D}}(h_1(x)\neq h_2(x))$

• 经验误差：输入输出映射 $h(\mathcal{X})\mapsto\mathcal{Y}$ 在训练数据集 $D$ 上所表现出的误差。

  $\hat{E}(h;D)=P_{x\sim D}(h(x)\neq y)$

  经验误差为 0 则表示假设与样本空间一致。

由于 $D$ 是 $\mathcal{D}$ 的同分布采样，因此 $h$ 的泛化误差等于经验误差的期望。

常用不等式（P268）

• Jesen 不等式
• Hoeffding 不等式
• McDiarmid 不等式

概率近似正确（Probably Approximately Correct）学习

基本符号

• 复杂度：$size(\cdot)$
  • 概念：$c$，从样本空间到标记空间的映射
  • 目标概念：$\forall (x,y)\in\mathcal{D},c(x)=y$
  • 概念类：$\mathcal{C}$，包含目标概念的集合
  • 学习算法：$\mathfrak{L}$
  • 假设：$h$，从样本空间到标记空间的映射
  • 假设空间：$\mathcal{H}$，给定学习算法包含的所有假设的集合，依赖于学习算法存在
  • 置信度：$\delta\in(0,1)$
  • 误差参数：$\epsilon\in(0,1)$，经验误差的上界，预先设定的学习模型所应满足的误差要求

  假设空间的可分性

  若目标概念 $c\in\mathcal{H}$，则 $\mathcal{H}$ 中存在假设使得所有样本输入的输出与真实标记一致，则称该问题对学习算法 $\mathfrak{L}$ 是可分的（一致的）。

  若不存在目标概念 $c\notin\mathcal{H}$，则称该问题对学习算法 $\mathfrak{L}$ 是不可分的（不一致的）。

  PAC 辨识

  对 $0<\epsilon,\delta<1, \forall c\in\mathcal{C},\mathcal{D}$，若存在学习算法 $\mathfrak{L}$ 能以至少 $1-\delta$ 的概率学得目标概念 $c$ 的近似 $h\in\mathcal{H}$，即：

  $$P(E(h)\leq\epsilon)\geq 1-\delta$$

  则称该学习算法能从假设空间中辨识概念类 $\mathcal{C}$。

  PAC 可学习

  令 $m$ 是从样本分布空间 $\mathcal{D}$ 中独立同分布采样得到的样本 $x$ 的数目，若存在学习算法 $\mathfrak{L}$ 和多项式函数 $poly()$，$\forall m,m\geq poly(1/\epsilon,1/\delta,size(x),size(c))$，学习算法 $\mathfrak{L}$ 能从假设空间 $\mathcal{H}$ 中辨识概念类 $\mathcal{C}$，则称概念类 $\mathcal{C}$ 对假设空间 $\mathcal{H}$ 而言是 PAC 可学习的。

  当 $\mathcal{H=C}$ 时，称恰 PAC 可学习。

  PAC 学习算法

  若学习算法 $\mathfrak{L}$ 使概念类 $\mathcal{C}$ 是 PAC 可学习的，且运行时间是多项式函数 $poly(1/\epsilon,1/\delta,size(x),size(c))$，则称概念类 $\mathcal{C}$ 是高效 PAC 可学习的，$\mathfrak{L}$ 为概念类 $\mathcal{C}$ 的 PAC 学习算法。

  样本复杂度

  满足 PAC 学习算法 $\mathfrak{L}$ 所需的最小样本数 $m\geq poly(1/\epsilon,1/\delta,size(x),size(c))$，称为 $\mathfrak{L}$ 的样本复杂度。

  假设空间复杂度

  有限假设空间

  $|\mathcal{H}|$ 有限时的假设空间。

  可分情形

  在可分有限假设空间中，一定能从假设空间找到一个假设 $h$ 满足概念要求，即训练集上表现完美，所需的样本数约束条件为：

  $$m\geq\frac{1}{\epsilon}(\ln|\mathcal{H}|+\ln\frac{1}{\delta})$$

  在该约束条件下，假设 $h$ 的泛化误差随着样本数 $m$ 的增加收敛到 0，收敛速率为 $O(\frac{1}{m})$，即给定样本数 $m$ 时，学习器的泛化误差下界为 $\frac{1}{m}(\ln|\mathcal{H}|+\ln\frac{1}{\delta})$。

  不可分情形

  • 不可知 PAC 可学习：如果学习算法 $\mathfrak{L}$ 能够学出满足如下约束条件的假设 $h$，则称假设空间 $\mathcal{H}$ 是不可知 PAC 学习的。

    $$P(E(h)-\min_{h'\in\mathcal{H}}E(h')\leq\epsilon)\geq 1-\delta$$

  • 高效不可知 PAC 可学习：在不可知 PAC 可学习中，如果学习算法 $\mathfrak{L}$ 的运行时间也是多项式函数 $poly(1/\epsilon,1/\delta,size(x),size(c))$，则称假设空间 $\mathcal{H}$ 是高效不可知 PAC 学习的；学习算法 $\mathfrak{L}$ 称为 $\mathcal{H}$ 的高效不可知 PAC 学习算法。

  无限假设空间

  VC 维

  经验风险最小化（Empirical Risk Minimization）原则

  令 $h$ 为学习算法 $\mathfrak{L}$ 的输出假设，满足

  $$\hat{E}(h)=\min_{h'\in\mathcal{H}}\hat{E}(h')$$

  则称 $\mathfrak{L}$ 满足经验风险最小化原则。

  增长函数

  设假设 $h$ 对训练集 $D$ 中样本的标记结果为：

  $$h|_D=\{(h(x_1),(h(x_2),...,(h(x_m))\}$$

  对所有的 $m\in\mathbb{N}$，假设空间的增长函数为：

  $$\Pi_{\mathcal{H}}=\max_{\{x_1,x_2,...x_m\}\subseteq\mathcal{X}}|\{(h(x_1),(h(x_2),...,(h(x_m))|h\in\mathcal{H}\}|$$

  表示假设空间对 $m$ 个样本所能赋予标记的最大可能数，该值越大则假设空间的表示能力越强。

  对分和打散

  尽管假设空间的大小可能是无穷的，但是对于训练集 $D$ 的可能标记结果数是有限的。

  • 对分：在二分类问题中，假设空间对训练集的每种标记结果称为对 $D$ 的一种对分。
  • 打散：如果假设空间能实现样本集上所有对分，即假设空间的增长函数 $\Pi_{\mathcal{H}}(m)=2^m$，则称样本集 $D$ 能被假设空间 $\mathcal{H}$ 打散。

  VC 维

  假设空间 $\mathcal{H}$ 的 VC 维是能被 $\mathcal{H}$ 打散的最大样本集的大小：

  $$\text{VC}(\mathcal{H})=\max\{m:\Pi_{\mathcal{H}}(m)=2^m\}=d$$
  • 只要存在大小为 $d$ 的样本集能被假设空间打散即可。
  • 不存在大小为 $d+1$ 的样本集能被假设空间打散。
  • 分布无关（数据独立）性：VC 维的泛化误差界只与样本数目有关，并且收敛速率为 $O(\frac{1}{\sqrt{m}})$，与数据分布 $\mathcal{D}$ 无关。
  • 增长函数上界：
    
    • 对任意 $m\in\mathbb{N}$：$\Pi_{\mathcal{H}}(m)\leq\sum_{i=0}^d\binom{m}{i}$
    • $m\geq d$：$\Pi_{\mathcal{H}}(m)\leq(\frac{e\cdot m}{d})^d$
  • 任何 VC 维有限的假设空间都是（不可知） PAC 学习的。

  Rademacher 复杂度?？？

  在一定程度上考虑了数据的分布。

  稳定性

  考察算法在输⼊(训练集)发⽣变化时，输出是否发⽣较⼤的变化。

  训练集的两种变化

  • 移除：$D^{\setminus i}$
  • 替换：$D^i$

  损失函数

  损失函数刻画了学习算法在训练集上预测标记与真实标记的差别：

  $$l(\mathfrak{L}_D(x),y):\mathcal{Y}\times\mathcal{Y}\rightarrow\mathbb{R}^+$$

  简记为 $l(\mathfrak{L}_D,z=(x,y))$。

  • 泛化损失：$l(\mathfrak{L},D)=\mathbb{E}_{x\in\mathcal{X},z={x,y}}[l(\mathfrak{L}_D,z)]$
  • 经验损失：$\hat{l}(\mathfrak{L},D)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^ml(\mathfrak{L}_D,z_i)$
  • 留一损失：$l_{loo}(\mathfrak{L},D)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^ml(\mathfrak{L}_{D^{\setminus{i}}},z_i)$

  均匀稳定性

  • $\beta$-均匀稳定性：学习算法满足对所有的 $i$ 有 $|l(\mathfrak{L}_D,z)-l(\mathfrak{L}_{D^{\setminus{i}}},z)|\leq\beta$
    
    • 替换：$|l(\mathfrak{L}_D,z)-l(\mathfrak{L}_{D^i},z)|\leq 2\beta$
  • 对于损失函数，若学习算法的输出满足经验损失最小化，则称算法满足经验风险最小化。