母函数(在他人讲解的基础上添些自己的理解)

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求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

在这里每种是无限的。

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

 

这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

 

 

现在以上面每种种类个数无限为例，给出模板：(这里的模板其实不是上面这题的解答代码，解答代码需要改动一些数值)

#include <iostream>  
using namespace std;  
// Author: Tanky Woo  
// www.wutianqi.com  
const int _max = 10001;   
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目  
// c2是中间量，保存每一次的情况  
int c1[_max], c2[_max];     
int main()  
{   //int n,i,j,k;  
    int nNum;   //   
    int i, j, k;  
  
    while(cin >> nNum)  
    {  
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①  
        {  
            c1[i] = 1;  
            c2[i] = 0;  
        }  
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②  
        {  
  
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③  
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④  
                {  
                    c2[j+k] += c1[j];  
                }  
                for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤  
                {  
                    c1[j] = c2[j];  
                    c2[j] = 0;  
                }  
        }  
        cout << c1[nNum] << endl;  
    }  
    return 0;  
}  

我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)

①  、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

②  、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

(i代表的是第i个表达式，像上面所举的求3种邮票所能组成的数值的方案数，i应该是小于等于3，因为它只有3种邮票)

③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为

（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。

(有关第3点，我觉得可以这么理解，我们是先固定j，变化k，j在这其实就是指第i-1个表达式中幂为j的那个数；而k则是原来第i个表达式中幂为k的数，如果你看懂了之前有关母函数的讲解，对于k每次增i应该也能理解。就拿原作者刚刚举的为例(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，(1+x)为第一个表达式，(1+x^2)是原来的第二个表达式，当j=0时，k变化，其实就是拿(1+x)中的1分别乘以(1+x^2)的1和x^2，最后得到（1+x+x^2+x^3）(1+x^3))

④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

⑤  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。