数学与数论

数学与数论

目录

1. 常见数学符号

2. 数列求和

3. 快速幂

4. 整除

5. 组合计数

常见数学符号

数理逻辑

• 与、或、非

$$p\wedge q\text{，}p\vee q\text{，}p\neg q$$

• 蕴含、等价于

$$p⟹q\text{，}p⟺q$$

关系

• 等于、不等于、约等于

$$a=b\text{，}a\ne b\text{，}a\approx b$$

• 小于、大于、小于等于、大于等于

$$a<b\text{， }a>b\text{， }a\le b\text{， }a\ge b$$

• 整除、互素、同余

$$a\mid b\text{， }a\perp b\text{， }a\equiv b(\mathrm{mod}m)$$

运算符

• 加、减、乘、除

$$a+b\text{，}a-b\text{，}a\times b\text{，}a÷b$$

• 加或减

$$a\pm b$$

• 次方

$$a^b$$

• 开根

$$\sqrt[n]{a}$$

• 绝对值

$$\mid a\mid$$

• 取整

$$\lfloor a\rfloor \text{，}\lceil b\rceil$$

• 取模

$$a\mathrm{mod}b$$

• 最值

$$min(a,b)\text{，}max(a,b)$$

• 最大公因数、最小公倍数

$$\gcd (a,b)\text{，}\mathrm{lcm}(a,b)$$

• 求和

$$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\cdots +a_n$$

• 求积

$$\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$$

集合

• 属于、不属于

$$x\in S\text{，}x\notin S$$

• 元素个数、空集

$$\mid S\mid \text{，}\varnothing$$

• 包含、真包含

$$A\subseteq B\text{，}A\subset B$$

• 并集、交集、差集

$$A\cup B\text{，}A\cap B\text{，}A\setminus B$$

标准数集和区间

• 自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集、素数集

$$\mathbb{N}\text{，}\mathbb{Z}\text{，}\mathbb{Q}\text{，}\mathbb{R}\text{，}\mathbb{C}\text{，}\mathbb{P}$$

• 闭区间、开区间、左开右闭区间、左闭右开区间

$$[a,b]\text{，}(a,b)\text{，}(a,b]\text{，}[a,b)$$

• 无穷大

$$\infty$$

指数和对数函数

• 自然对数

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=2.7188128\cdots$$

• $x$ 的以 $a$ 为底的对数

$${\log }_{a}x$$

• $x$ 的自然对数

$$\ln x$$

• $x$ 的常用对数

$$\lg x$$

---

数列求和

• 等差数列求和：

假设等差数列的首项为 $a_1$，末项为 $a_n$，项数为 $n$，那么等差数列的和为：

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

假设等差数列的首项为 $a_1$，项数为 $n$，公差为 $d$，那么等差数列的和为：

$$S_n=a_{1}n+\frac{n(n-1)}{2}d$$

• 等比数列求和：

假设等比数列的首项为 $a_1$，项数为 $n$，公比为 $q$，那么等比数列的和为：

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

假设等比数列的首项为 $a_1$，有无穷项，公比为 $q$，那么等比数列的和（若存在）为：

$$S_n=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}$$

快速幂

计算：$x^y\mathrm{mod}z$

inline [type] qpow([type] x, int y, const int z){
    [type] ans = 1;
    while (y){
        if (y & 1) ans = ans * x % z;
        x = x * x % z, y >>= 1;
    }
    return ans;
}

整除

假设 $n$ 为非负整数，$d$ 为正整数，$a$、$b$ 为非负整数：

• 若 $\frac{n}{d}$ 为整数，则称 $d$ 整除 $n$，写作 $d\mid n$。此时 $d$ 被称为 $n$ 的 约数，而 $n$ 被称为 $d$ 的 倍数

• 若 $d\mid a$ 且 $d\mid b$，则称 $d$ 为 $a$ 和 $b$ 的 公约数。最大公约数 是 $a$ 和 $b$ 的所有公约数中最大的数，常记作 $gcd(a,b)$（当 $gcd(a,b)=1$ 时，我们称 $a$、$b$ 为 互素 关系）

辗转相除法求最大公约数

设 $a=b\times k+c$（$b$ 不能整除 $a$），$d$ 为 $a$、$b$ 的公约数：

$$\because c=a\mathrm{mod}b<b$$

$$\therefore c=a-bk$$

$$\because d\mid a\&d\mid b$$

$$\therefore \frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k$$

$$\therefore \frac{c}{d}\in \mathbb{Z}$$

$$\therefore d\mid (a\mathrm{mod}b)\to d\mid b\&d\mid (a\mathrm{mod}b)$$

反之，假设 $d\mid b\&d\mid (a\mathrm{mod}b)$，也可证明其是 $a$、$b$ 的公约数

可得 $a$、$b$ 与 $b,(a\mathrm{mod}b)$ 的最大公约数相等
即 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$

inline [type] gcd([type] x, [type] y){
    return !y ? x : gcd(y, x % y);
}

• 若 $a\mid d$ 且 $b\mid d$，则称 $d$ 为 $a$ 和 $b$ 的 公倍数。最小公倍数 是 $a$ 和 $b$ 的所有公倍数中最小的数，常记作 $\mathrm{lcm}(a,b)$

$$\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{a\times b}{\gcd (a,b)}$$

inline [type] lcm([type] x, [type] y){
    return x * y / gcd(x, y);
}

素数

对于一个整数 $n\ge 2$，若所有满足 $1<k<n$ 的整数 $k$ 都不是 $n$ 的约数，那么称 $n$ 为 素数

判断素数

时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

inline bool check([type] x){
    if (x == 1) return 0;
    for ([type] i = 2; i * i <= x; ++i) if (!(x % i)) return 0;
    return 1;
}

素数的分布

定义 $\pi (x)$ 表示小于等于 $x$ 的素数的个数，其中：

$$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)}$$

即小于等于 $n$ 的正整数中有 $O(\frac{n}{\log n})$ 个数为素数数

素数筛

方法一：对于 $1\sim N$ 的每个正整数判断是否为素数。时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$ ，效率最低

方法二：埃式筛法：对于 $2\sim n$ 的每个正整数 $x$，若 $x$ 为素数，则标记所有大于 $x$ 小于 $n$ 的 $x$ 的倍数。枚举到 $x$ 时，若 $x$ 没有被标记，则 $x$ 为素数，其时间复杂度为 $O(n\log \log n)$

inline void sieve([type] N){
    memset(P, 1, sizeof(P)), P[0] = P[1] = 0;
    for ([type] i = 2; i < N; ++i){
        if (!P[i] || i * i >= N) continue;
        for ([type] j = i * i; j < N; j += i) P[j] = 0;
    }
}

方法三：线性筛：从埃氏筛法改进而来，使每个合数只被它的最小质因数筛去，这样就能保证每个合数只被筛一次。比如埃氏筛法中 $6$ 在已经被 $2$ 筛去的情况下又被 $3$ 筛了一遍，而我们希望 $6$ 只被 $2$ 筛去。这样就可以将整个算法的时间复杂度从 $O(n\log \log n)$ 降到 $O(n)$

inline void sieve([type] N){
    for (int i = 2; i <= N; ++i){
        if (!vis[i]) ++cnt, P[cnt] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * P[j] <= N; ++j){
            vis[i * P[j]] = 1;
            if (!(i % P[j])) break;
        }
    }
}

唯一分解定理

假设 $n\ge 2\in \mathbb{Z}$，则有唯一的分解式：

$$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$$

其中，$p_1<p_2<\cdots <p_m\in \mathbb{P}$，$k_i\in \mathbb{N}>0$

该分解式也常被人称为 质因数分解

vector<int> factor(int N){
    vector<int> F;
    for (int i = 1; i <= P[0]; ++i) {
        if (P[i] * P[i] > N) break;
        while (N % P[i] == 0) F.push_back(P[i]), N /= P[i];
    }
    if (N > 1) f.push_back(N);
    return F;
}

预处理复杂度：$O(\sqrt{n})$，单词查询复杂度：$O(\frac{\sqrt{n}}{\ln n})$

模运算与同余

设 $a$、$b$ 为正整数，则 $a\mathrm{mod}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$

若 $(a-b)\mathrm{mod}n=0$，则称 $a$、$b$ 同余，记作：

$$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$$

根据模运算，我们可以得到下列等式：

• $(a+b)\mathrm{mod}p=(a\mathrm{mod}p+b\mathrm{mod}p)\mathrm{mod}p$

• $(a-b)\mathrm{mod}p=(a\mathrm{mod}p-b\mathrm{mod}p+p)\mathrm{mod}p$

• $ab\mathrm{mod}p=((a\mathrm{mod}p)\times (b\mathrm{mod}p))\mathrm{mod}p$

• $a^b\mathrm{mod}p=(a\mathrm{mod}p{)}^b\mathrm{mod}p$

裴蜀定理

设 $a$、$b$ 是不全为 $0$ 的整数，则必定存在整数 $x$、$y$，满足不定方程 $ax+by=\gcd (a,b)$

求解该不定方程，需要使用 扩展欧几里得算法：

当 $b=0$ 时，原方程转换为 $ax=\gcd (a,0)=a\to x=1$

当 $b\ne 0$ 时，由于 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$，因此我们希望找到一对 $(x’,y’)$，满足：

$$b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$$

对于原方程，根据 $a=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b+a\mathrm{mod}b$ 代入可得：

$$(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b+a\mathrm{mod}b)x+by=\gcd (a,b)$$

整理可得：

$$b(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor x+y)+(a\mathrm{mod}b)x=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$$

综合两个式子：

$$\{\begin{array}{l}b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)\\ b(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor x+y)+(a\mathrm{mod}b)x=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)\end{array}$$

比较系数可得：

$$\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor x\end{array}$$

因此可以递归求解：

inline [type] exgcd([type] a, [type] b, [type] &x, [type] &y){
    if (!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    [type] d = exgcd(b, a % b, x, y);
    [type] t = x;
    x = y, y = t - (a / b) * y;
    return d;
}

乘法逆元

实际上，我们求出的 $x$ 被称作 $a\mathrm{mod}b$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。当 $x$ 与 $b$ 互素时，存在唯一的 $x$ 的逆元。当 $b$ 是素数时，所有不是 $b$ 的倍数的整数都有唯一的逆元。

使用乘法逆元可以帮助我们完成模意义下的除法运算：

$$\frac{a}{b}\equiv a\times b^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

欧拉函数

$\phi (i)$ 表示，小于等于 $i$ 的正整数中，与 $i$ 互质的数的个数

欧拉函数具有以下的性质：

• $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$（$p\in \mathbb{P}$）

• 欧拉函数是 积性函数，即若 $\gcd (a,b)=1$，则有 $\phi (a)\times \phi (b)=\phi (a\times b)$

• 欧拉反演：${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$

欧拉函数的计算：

如果只需求出 $\phi (n)$：求出 $n$ 的唯一分解 $n={\prod }_{i=1}^m{p}_i^{k_i}$

根据积性，$\phi (n)={\prod }_{i=1}^m\phi (p_i^{k_i})$，根据 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ 可求

若需批量求出 $\phi (n)$ 可以利用到线性筛：

设 $p$ 是 $i$ 的最小质因子，则分三种情况：

• $i$ 是素数，则 $\phi (i)=i-1$

• $p$ 为 $\frac{i}{p}$ 的质因子，则 $\phi (i)=\phi (\frac{i}{p})\times p$

• $p$ 为 $\frac{i}{p}$ 互素，则 $\phi (i)=\phi (\frac{i}{p})\times \phi (p)$

inline void euler([type] N) {
    E[1] = 1;
    for ([type] i = 2; i <= N; ++i){
        if (!vis[i]) ++cnt, P[cnt] = i, E[i] = i - 1;
        for ([type] j = 1; j <= cnt && i * P[j] <= N; ++j){
            vis[i * P[j]] = 1;
            if (i % P[j]) E[i * P[j]] = E[i] * E[P[j]];
            else {
                E[i * P[j]] = E[i] * P[j];
                break;
            }
        }
    }
}

组合计数

加法原理和乘法原理

加法原理：完成一项工作有 $n$ 类方法，第 $i$ 类方法下又有 $a_i$ 类方法，那么完成这项工作总共有 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i$ 种方法

乘法原理：完成一项工作有 $n$ 步方法，第 $i$ 步方法下又有 $a_i$ 步方法，那么完成这项工作总共有 ${\prod }_{i=1}^n{a}_i$ 种方法

排列数

$A_n^m$ 表示从 $n$ 个不重复的元素中选择 $m$ 个按照一定顺序排列的方案数

根据乘法原理，第一个位置有 $n$ 种选法，第二个位置有 $n-1$ 种
选法，第三个位置有 $n-2$ 种选法，以此类推，可得：

$$A_n^m=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

组合数

$C_n^m$ 表示从 $n$ 个不重复的元素中选择 $m$ 个的方案数

根据排列数，每种方案被计算了 $m!$ 次，因此可得：

$$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

组合恒等式

根据组合数的计算方式，可以得到一系列的恒等式：

• $C_n^m=C_n^{n-m}$

• $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$（杨辉三角递推）

• ${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i=2^n$

• $(x+y{)}^n={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i{x}^{n-1}{y}^i$（二项式定理）

捆绑法、插空法、隔板法

如果要求若干物品相邻，则可以将它们作为一个整体来进行计数

如果要求若干物品两两不相邻，可以先将其他物品放好，然后将
这些物品插入空当中，进行计数

通过加入隔板将问题转化，解决给相同元素分组的方案数问题

容斥原理

假设有两类元素 $A$、$B$，总元素个数为 $A$ 元素个数 $+$ $B$ 元素个数 $-$ 既是 $A$ 类也是 $B$ 类的元素个数

把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去的方式被称为 容斥原理

假设有三类元素 $A$、$B$、$C$，总元素个数为：

$$\mid A\cup B\cup C\mid =\mid A\mid +\mid B\mid +\mid C\mid -\mid A\cap B\mid -\mid B\cap C\mid -\mid A\cap C\mid +\mid A\cap B\cap C\mid$$