Leetcode：96. 不同的二叉搜索树（C++）

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问题描述：

实现代码与解析：

动态规划：

原理思路：

数学法：

原理思路：

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问题描述：

        给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

实现代码与解析：

动态规划：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) 
    {
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i < n + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < i + 1; j++)
            {
                dp[i] += dp[i - j] * dp[j - 1];//各种情况加起来
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

原理思路：

        代码很好写，但是用动态规划来解题其实是很难想到的，而且动态规划的递推公式也不太容易找出，如果没有提前写过，其实是很难做出来的。

        主要讲讲递推公式怎么来的，首先dp数组就是表示 i 个结点的二叉搜索树的种树，头节点为 1 ~  i  的树，因为头结点已经占了一个结点，我们就把 i - 1 的结点分割在左右子树上，左右子树当然也有不同种类但结点个数相同的树，所以一种分割方式求出来的结果是相乘求出来的，最后不同分割方式相加就得到了最终结果。

        其实仅仅文字这样解释依旧还是挺难想到和理解到的，画了个图，大家可以理解一下，注意不要在意结点里的值，只要符合二叉搜索树的规则就行，这里的种类仅仅是指的结构，结点值不同但结构相同的是一种。

         大家可以发现画红框的是不是就是我们已经推导过的种类啊，用代码写出就是：

dp[i] += dp[i - j] * dp[j - 1];//各种情况加起来

大家可以带入数字验证，顺便再次理解一下。

数学法：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
        {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int)C;
    }
};

原理思路：

        用的数学中的卡塔兰数，大家可以自己网上查一下。