数论知识集锦（持续更新中）

数论还是比较重要的一部分，需要我们好好掌握
话不多说，直接上算法吧

1.线性筛

这还是比较简单的一部分了吧
线性筛是什么就不多说了，顾名思义即可
先讲讲普通筛
代码如下：

memset(isprime, true, sizeof(isprime));
isprime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    for (int j = i; i * j <= n; j++)
        isprime[i * j] = false;

代码很简单，时间复杂度约为$O(n·log_2 log_2 n)$
时间还能凑合，但是遇到$n=10^7$级别的时候就GG了
所以才要引进线性筛这种神奇的操作……
方法？ 每一个数都只被自己的最小质因子筛一次
为什么普通筛时间会爆，因为一个数可能被筛了很多次……
看看线性筛的代码（比较丑陋）

memset(isprime, true, sizeof(isprime));
int len = 0; isprime[1] = false;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (isprime[i]) prime[++len] = i;
    for (int j = 1; j <= len && i * prime[j] <= n; j++) {
        isprime[i * prime[j]] = false;
        if (i % prime[j] == 0) break;
    }
}

这就是线性筛的代码了
如果你认为它只能筛素数，那就大错特错了……
在这里我们引入一些概念
积性函数：当$(a,b)=1$时，满足$f(ab)=f(a)*f(b)$，则$f$为积性函数
完全积性函数：对于任意数对$(a,b)$，都满足$f(ab)=f(a)*f(b)$，则$f$为完全积性函数
常见的积性函数：
欧拉函数$\varphi(n)$表示在$1-n$中和$n$互质的数的个数
约数个数$d(n)$表示$n$约数个数
约数和$\sigma(n)$表示$n$的约数和
线性筛可以解决积性函数求值的问题

我们拿欧拉函数$\varphi$作为例子
对于一个积性函数，我们需要考虑2种情况
1.$n=p^k$，$p$为质数
2.$n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times …\times p_m^{k_m}$($p_1,k_1,p_2,k_2…p_m,k_m$都为正整数)
当属于第一种情况的时候，很容易得到

$$\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=n(1-\frac{1}{p})$$
当属于第二种情况的时候，可以通过质因数分解得到
$$\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})…\varphi(p_m^{k_m})=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})…(1-\frac{1}{p_m})$$
所以线性筛即可

还是看一看具体代码比较好

memset(phi, 0, sizeof(phi));
int len = 0; phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!phi[i]) {
        phi[i] = i - 1;
        prime[++len] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= len && i * prime[j] <= n; j++) {
        int k = i * prime[j];
        if (i % prime[j] == 0) {
            phi[k] = phi[i] * prime[j];
            break;
        }
        phi[k] = phi[i] * (prime[j] - 1);
    }
}

和线性筛素数的代码大同小异
再举个例子，约数和$\sigma(n)$
还是和求$\varphi(n)$一样的思路，分类讨论两种情况
1.$n=p^k$
2.$n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times …\times p_m^{k_m}$($p_1,k_1,p_2,k_2…p_m,k_m$都为正整数)
第一种情况的$\sigma(n)$很好求
很显然

$$\sigma(n)=\sigma(\frac{n}{p})+n=\sum_{i=0}^{k}{p^i}$$
第二种也差不太多，大同小异
$$\sigma(n)=\sigma(p_1^{k_1})\sigma(p_2^{k_2})…\sigma(p_m^{k_m})=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{k_i} p_i^{j}$$
这个和求$\varphi(n)$的过程差不多，就不写代码了

基本所有的积性函数怎么求值都可以这样分两步求
那么，线性筛这个部分就告一段落了

2.扩展欧几里得

欧几里得算法求最大公约数大家应该都会
时间复杂度约为$O(log_2 n)$
引入一个定理：
对于一个不定方程$ax+by=c$，只有$(a,b)|c$的时候，方程有整数解
推论：若$(a,b)=1$，则$ax+by=1$有解（很显然吧）
那么，扩展欧几里得就是一个可以求得这个方程的其中一组整数解的算法
方程为：$ax+by=c,c=(a,b)$
我们考虑使用欧几里得算法的思想，即为辗转相除法
令$a=bq+r,r=a \ mod \ b$，递归求出$bx+ry=c$的解
假设我们求出$bx+ry=c$的解为$x',y'$
将$a=bq+r$代入$ax+by=c$，则可以转化为：

$$b(xq+y)+rx=c$$
所以$x'=xq+y,y'=x$
所以原始的解$x=y',y=x'-y'q$
递归求解即可
注意一下边界，当$b=0$时，$x=1,y=0$
下面放一放代码吧

void calc(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b==0) {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    int q = a / b, r = a % b;
    calc(b, r, y, x);
    y -= q * x;
}

代码确实比较简洁，但是写起来可能还是需要一定的思考和理解的
那么，可能你会问，这鬼东西有什么用呢？
好，那我们来看看
来引进一个十分重要的概念，叫逆元

(1)逆元

若$ax\equiv1\pmod b$，则称$x$是$a$关于模$b$的逆元
这个定义式其实等价于$ax+by=1$
只有当$(a,b)=1$时才会有逆元，否则不存在
我们一般这么写
$a$的逆元为$x\equiv 1 \pmod b$,形象化说，就是$a^{-1}\equiv 1\pmod b$
那么，在模$b$意义下， $a^{-1}=x$ 这样可能比较容易理解
求逆元直接用扩展欧几里得即可
显然，在$[0,b)$的范围内，$a$关于模$b$的逆元（如果存在的话）是唯一的
反证法即可
只求一个很容易，那么我们要求$1-n$关于模质数$p$的逆元呢？
并且$n$在$10^6-10^7$级别
我们来推导一下吧
首先，$1^{-1}\equiv 1\pmod p$（十分明显）
那么，我们假设$p=ax+b,b<x,1<x<p$
把这个式子带进去，就会得到$ax+b\equiv 0\pmod p$
两边同时乘上$x^{-1}·b^{-1}$,可得

$$ab^{-1}+x^{-1}\equiv 0\pmod p \\x^{-1}\equiv -ab^{-1} \pmod p\\ x^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor \times (p\ mod \ i)^{-1} \pmod p$$
所以，逆元就可以推出来了

代码如下

for (inv[1] = 1, i = 2; i <= n; i++)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

逆元这个东西还是十分重要的，在一些求方案数的dp中会大量使用，特别是遇到除法的时候