2017.10.21感悟

因为是复活赛，所以题目相对比较简单
难度还是有的

T1

题意：给你一个全是大写字母的字符串，问能否先找到子串$AC$，将其改成$BB$后，再找到子串$CA$，将其改成$BB$？能输出$YES$，否则输出$NO$
题目很简单，但是我竟然没有AC
因为我没有考虑这种情况：ACAAC。此情况为$YES$
所以不能直接扫$AC$，直接将第一个改成$BB$
方法很多，就不说了

T2

题意：给一个$n*n$矩阵的最终状态，若$a_{i,j}=0$则表示这个地方没有被填充过颜色，否则就被填充过。现在初始状态为全零矩阵，每一次操作都只能将一个子矩阵覆盖成之前没有用过的颜色。问第一次能涂多少种颜色使得最后达到最终状态？
$n≤10$
暴力即可，只要先求出每一种颜色的矩形范围即可

T3

题意：给定一个$n*m$矩阵，每一个点的权值为其到其他所有点距离的最大值（比如$(x,y)$到$(x',y')$，$dis=|x-x'|+|y-y'|+a_{x',y'}$）。输出每个点的权值。
$n,m≤1000$
$O((nm)^2)$的算法是十分明显的
所以我们现在就要考虑怎么做到$O(nm)$
我们只要使$a_{i,j}±i±j$最大（±的取值需要看在那个方向，因为这是绝对值）
预处理出每一个点到四个方向的最大值，然后计算即可

T4

题意：一个$n*m$的矩阵，告诉你每一个点在某一时刻会消失，问每一时刻有多少个连通块(时刻必定是一个$nm$的排列)
时光倒流，一个一个点加入即可

T5

题意：一个数列$x_1,x_2,…x_n,m\ (x_i≤m)$，
问有多少种序列，使得$\sum a_ix_i=1\ (a_i∈N)$($x_i$自己求)
显然，要使得最后的和为1，就要使得$G=gcd(x_1,x_2,…x_n,m)=1$
$n,m≤10^5$
考虑使用容斥原理
答案即为总方案数减去最大公约数不为1的方案数
显然，$G|m$。假设$m=p_1^{t_1}p_2^{t_2}…p_k^{t_n}$
那么，答案的式子即为

$$m^n-\frac{m^n}{p_1}-\frac{m^n}{p_2}-…-\frac{m^n}{p_k}+\frac{m^n}{p_1p_2}+\frac{m^n}{p_1p_3}+…+\frac{m^n}{p_{k-1}p_k}-\frac{m^n}{p_1p_2p_3}-…$$
是不是和欧拉函数$\varphi(n)$的式子很像？
原式即为
$$m^n(1-\frac{1}{p_1^n})(1-\frac{1}{p_2^n})…(1-\frac{1}{p_k^n})$$
所以只要对$m$进行质因数分解即可
然后直接快速幂
时间复杂度$O(\sqrt m·log_2n)$

总结

要多运用数学知识……比如T5我明白应该是$G=1$，但是不会写啊
还是要多加练习的