算法笔记（六）：差分法

const int N = 100010;
int n; //n数组长度
//定义两个一维整形数组 a为原数组，b为差分数组
int a[N],b[N];  

//根据定义可知
b[i] = a[i] - a[i-1];
//稍微具体
b[1] = a[1];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] = a[3] - a[2];
...
b[i] = a[i] - a[i-1];

//转化一下，求数组b的前缀和,根据上面公式可得
  b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i]
= a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+...+(a[i]-a[i-1])
= a[i]

//由此可知，原序列为差分序列的前缀和序列
a[i] = b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i];

一般地，我们认为原序列就是差分序列的前缀和，所以把差分看做前缀和的逆运算

二、一维差分

1、定义

一维差分是指给定一个长度为n的序列a，要求支持操作pro(l,r,c)表示对a[l]~a[r]区间上的每一个值都加上或减去常数c，并求修改后的序列a。

2、作用

让一个序列中某个区间内的所有值均加上或减去一个常数。

可以将对a数组任意区间的同一操作优化到O(1)。

//区间[l,r]中的所有值都加上常数c
b[l] += c;
b[r+1] -= c;

//上边语句实现原理 b相当于a的辅助数组
//把a序列分为[1,l-1],[l,r],[r+1,n]三部分,由差分定义和与前缀和关系可得
a[l-1] = b[1]+b[2]+...+b[l-1]; //b[1]~b[l-1]中所有值都未改变，a[l-1]也不变
a[l] = b[1]+b[2]+...+b[l-1]+b[l]; //b[1] += c,所以a[l] += c
a[l+1] = b[1]+b[2]+...+b[l-1]+b[l]+b[l+1]; //b[1] += c,所以a[l+1] += c
... //一直到
a[r] = b[1]+b[2]+...b[l]+...+b[r];  //b[1] += c,所以a[l+1] += c
a[r+1] = b[1]+b[2]+...b[l]+...+b[r]+b[r+1]; //b[l

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