【算法】代码随想录刷题记录 | 6. 二叉树篇（上）

最新推荐文章于 2025-11-30 21:05:18 发布

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#c++ #算法 #leetcode

理论基础

二叉树的种类：

在我们解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。

满二叉树：

如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

如图所示：

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有2^k-1个节点的二叉树。

完全二叉树：

在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（h从1开始），则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

大家要自己看完全二叉树的定义，很多同学对完全二叉树其实不是真正的懂了。

举一个典型的例子如题：

最后一个二叉树是不是完全二叉树！

之前讲过的优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。

二叉搜索树：

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树

平衡二叉搜索树：

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

最后一棵不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。

C++中map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树，所以map、set的增删操作时间时间复杂度是O(log n)，注意这里没有说unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_set底层实现是哈希表。

所以使用自己熟悉的编程语言写算法时，一定要知道常用的容器底层都是如何实现的，才能进行性能分析。

二叉树的存储方式：

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。

链式存储方式就用指针，顺序存储的方式就是用数组。

顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。

链式存储如图：

顺序存储就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图：

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

用链式表示的二叉树，更有利于理解，所以一般都是用链式存储二叉树。

但用数组依然可以表示二叉树。

二叉树的遍历方式：

二叉树主要有两种遍历方式：

深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
广度优先遍历：一层一层地去遍历。

这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式。

从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，有如下遍历方式：

深度优先遍历
- 前序遍历（递归法，迭代法）
- 中序遍历（递归法，迭代法）
- 后序遍历（递归法，迭代法）
广度优先遍历
- 层次遍历（迭代法）

在深度优先遍历中：前中后序遍历的前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序，只要记住前中后序指的就是中间节点的位置就可以了。

看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

前序遍历：中左右
中序遍历：左中右
后序遍历：左右中

可以对着如下图，看看自己理解的前后中序有没有问题。

做二叉树相关题目时，经常会使用递归的方式来实现深度优先遍历，也就是实现前中后序遍历，使用递归是比较方便的。

之前学习栈与队列的时候，就了解过栈其实就是递归的一种实现结构，也就说前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用递归的方式来实现的。

而广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。

这里其实又了解了栈与队列的一个应用场景。

二叉树的定义：

刚讲过二叉树有两种存储方式：顺序存储和链式存储，顺序存储就是用数组来存，这个定义没啥可说的，来看看链式存储的二叉树节点的定义方式。

C++代码如下：

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

会发现二叉树的定义和链表是差不多的，相对于链表，二叉树的节点里多了一个指针，有两个指针，指向左右孩子。

这里要提醒大家要注意二叉树节点定义的书写方式。

在现场面试的时候面试官可能要求手写代码，所以数据结构的定义以及简单逻辑的代码一定要锻炼白纸写出来。

因为我们在刷leetcode的时候，节点的定义默认都定义好了，真到面试的时候，需要自己写节点定义的时候，有时候会一脸懵逼。

二叉树的递归遍历

前序遍历题目链接

中序遍历题目链接

后序遍历题目链接

刚开始学习算法时看递归算法都是“一看就会，一写就废”。

主要是对递归不成体系，没有方法论，每次写递归算法，都是靠玄学来写代码，代码能不能编过都靠运气。

本篇将介绍前后中序的递归写法，要通过简单题目把方法论确定下来，有了方法论，后面才能应付复杂的递归。

这里确定递归算法的三个要素。每次写递归，都按照这三要素来写，保证可以写出正确的递归算法！

确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数，并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

以下以前序遍历为例：

确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入vector来放节点的数值，除了这一点就不需要再处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是void，代码如下：

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)

确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：

if (cur == NULL) return;

确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，代码如下：

vec.push_back(cur->val);    // 中
traversal(cur->left, vec);  // 左
traversal(cur->right, vec); // 右

单层递归的逻辑就是按照中左右的顺序来处理的，这样二叉树的前序遍历，基本就写完了，再看一下完整代码：

前序遍历：

class Solution {
public:
    void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        if (cur == NULL) return;
        vec.push_back(cur->val);    // 中
        traversal(cur->left, vec);  // 左
        traversal(cur->right, vec); // 右
    }
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        traversal(root, result);
        return result;
    }
};

那么前序遍历写出来之后，中序和后序遍历就不难理解了，代码如下：

中序遍历：

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
    if (cur == NULL) return;
    traversal(cur->left, vec);  // 左
    vec.push_back(cur->val);    // 中
    traversal(cur->right, vec); // 右
}

后序遍历：

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
    if (cur == NULL) return;
    traversal(cur->left, vec);  // 左
    traversal(cur->right, vec); // 右
    vec.push_back(cur->val);    // 中
}

二叉树的迭代遍历

前序遍历题目链接

中序遍历题目链接

后序遍历题目链接

为什么可以用迭代法（非递归的方式）来实现二叉树的前后中序遍历呢？

前面提到过，递归的实现就是：每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压入调用栈中，然后递归返回的时候，从栈顶弹出上一次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上一层位置的原因。

因此用栈也可以实现二叉树的前后中序遍历。

先看一下前序遍历。

前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。

为什么要先加入右孩子，再加入左孩子呢？因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。

动画如下：

二叉树前序遍历（迭代法）

不难写出如下代码: （注意代码中空节点不入栈）

class Solution {
public:
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        vector<int> result;
        if (root == NULL) return result;
        st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();                       // 中
            st.pop();
            result.push_back(node->val);
            if (node->right) st.push(node->right);           // 右（空节点不入栈）
            if (node->left) st.push(node->left);             // 左（空节点不入栈）
        }
        return result;
    }
};

但接下来，再用迭代法写中序遍历的时候，会发现套路又不一样了，目前的前序遍历的逻辑无法直接应用到中序遍历上。

为了解释清楚，说明一下刚刚在迭代的过程中，其实有两个操作：

处理：将元素放进result数组中
访问：遍历节点

分析一下为什么刚刚写的前序遍历的代码，不能和中序遍历通用呢，因为前序遍历的顺序是中左右，先访问的元素是中间节点，要处理的元素也是中间节点，所以刚刚才能写出相对简洁的代码，因为要访问的元素和要处理的元素顺序是一致的，都是中间节点。

那么再看看中序遍历，中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进result数组中），这就造成了处理顺序和访问顺序是不一致的。

那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

动画如下：

二叉树中序遍历（迭代法）

中序遍历，可以写出如下代码：

class Solution {
public:
    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* cur = root;
        while (cur != NULL || !st.empty()) {
            if (cur != NULL) { // 指针来访问节点，访问到最底层
                st.push(cur); // 将访问的节点放进栈
                cur = cur->left;                // 左
            } else {
                cur = st.top(); // 从栈里弹出的数据，就是要处理的数据（放进result数组里的数据）
                st.pop();
                result.push_back(cur->val);     // 中
                cur = cur->right;               // 右
            }
        }
        return result;
    }
};

最后来看后序遍历，先序遍历是中左右，后续遍历是左右中，那么我们只需要调整一下先序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后再反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了，如下图：

前序到后序

所以后序遍历只需要前序遍历的代码稍作修改就可以了，代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        vector<int> result;
        if (root == NULL) return result;
        st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            st.pop();
            result.push_back(node->val);
            if (node->left) st.push(node->left); // 相对于前序遍历，这更改一下入栈顺序 （空节点不入栈）
            if (node->right) st.push(node->right); // 空节点不入栈
        }
        reverse(result.begin(), result.end()); // 将结果反转之后就是左右中的顺序了
        return result;
    }
};

此时我们用迭代法写出了二叉树的前后中序遍历，可以看出前序和中序是完全两种代码风格，并不像递归写法那样代码稍做调整，就可以实现前后中序。

这是因为前序遍历中访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进result数组中）可以同步处理，但是中序就无法做到同步！

二叉树的层序遍历

学会层序遍历后，可以连续做10道力扣题，go！

102. 二叉树的层序遍历 题目链接

思路：

给你一个二叉树，请你返回其按层序遍历得到的节点值。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。

102.二叉树的层序遍历

层序遍历一个二叉树。就是从左到右一层一层地去遍历二叉树。这种遍历的方式和之前的深度优先遍历不太一样。

需要借用一个辅助数据结构即队列来实现，队列先进先出，符合一层一层遍历的逻辑，而用栈先进后出适合模拟深度优先遍历也就是递归的逻辑。

而这种层序遍历方式就是图论中的广度优先遍历，只不过我们应用在二叉树上。

使用队列实现二叉树广度优先遍历，动画如下：

102二叉树的层序遍历

题解：

注意空节点不入队列。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        vector<vector<int>> ret;
        if (root != NULL) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            vector<int> vec;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                vec.push_back(node->val);
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            ret.push_back(vec);
        }
        return ret;
    }
};

107. 二叉树的层序遍历Ⅱ 题目链接

思路：

在层序遍历后将结果数组反转即可。注意是在循环结束后反转。

题解：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrderBottom(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        vector<vector<int>> ret;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            vector<int> vec;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                vec.push_back(node->val);
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            ret.push_back(vec);
        }
        reverse (ret.begin(), ret.end());
        return ret;
    }
};

199. 二叉树的右视图 题目链接

思路：

加一个是否是单层最后一个元素的判断，是则加入结果数组。

题解：

class Solution {
public:
    vector<int> rightSideView(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        vector<int> ret;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
                if (i == size - 1) ret.push_back(node->val);
            }
        }
        return ret;
    }
};

637. 二叉树的层平均值 题目链接

思路：

加个求总和再取均值操作即可。

题解：

class Solution {
public:
    vector<double> averageOfLevels(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        vector<double> ret;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            double sum = 0;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                sum += node->val;
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            double avr = sum / size;
            ret.push_back(avr);
        }
        return ret;
    }
};

429. N叉树的层序遍历 题目链接

思路：

一个节点可以有多个孩子，注意题目中给出的Node类定义，以及如何遍历一个节点的每个孩子的写法（牢记空节点不入队列！）。

题解：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
        queue<Node*> que;
        vector<vector<int>> ret;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            vector<int> vec;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node* node = que.front();
                que.pop();
                vec.push_back(node->val);
                for (int j = 0; j < node->children.size(); j++) {
                    if (node->children[j]) que.push(node->children[j]);
                }
            }
            ret.push_back(vec);
        }
        return ret;
    }
};

515. 在每个树行中找最大值 题目链接

思路：

层序遍历，取每一层的最大值。

题解：

class Solution {
public:
    vector<int> largestValues(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        vector<int> ret;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            int max = INT_MIN;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                max = node->val > max ? node->val : max;
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            ret.push_back(max);
        }
        return ret;
    }
};

116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针 题目链接

思路：

官解是在遍历的时候让前一个节点指向本节点，自己是除了每一层的最后一个节点外，在遍历的时候让每一个节点指向下一个节点，一样的思路。

题解：

class Solution {
public:
    Node* connect(Node* root) {
        queue<Node*> que;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
                if (i < size - 1) node->next = que.front();
            }
        }
        return root;
    }
};

117. 填充每个节点的下一个右侧节点指针Ⅱ 题目链接

思路：

题116说是完整二叉树，实际没有差别。

题解：

class Solution {
public:
    Node* connect(Node* root) {
        queue<Node*> que;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
                if (i != size - 1) node->next = que.front();
            }
        }
        return root;
    }
};

104. 二叉树的最大深度 题目链接

思路：

层序遍历二叉树，记录一下遍历的层数就是二叉树的深度。

题解：

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        int max = 0;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            max++;
        }
        return max;
    }
};

111. 二叉树的最小深度 题目链接

思路：

层序遍历，当左右孩子都为空时，说明遍历到了叶子节点。

题解：

class Solution {
public:
    int minDepth(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        int min = 0;
        if (root != nullptr) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            min++;
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
                if (!(node->left || node->right)) return min;
            }
        }
        return min;
    }
};

226. 翻转二叉树

题目链接

思路：

想要翻转二叉树，其实把每一个节点的左右孩子交换一下就可以了。

关键在于遍历顺序，使用前序遍历和后序遍历都可以，唯独中序遍历不方便，因为中序遍历会把某些节点的左右孩子翻转了两次。

层序遍历也是可以的。

一、递归法：

通过动画来看一下翻转的过程:

翻转二叉树

递归三部曲：

1. 确定递归函数的参数和返回值

参数就是要传入节点的指针，不需要其他参数了，通常此时定下来主要参数，如果在写递归的逻辑中发现还需要其他参数的时候，随时补充。

返回值的话其实也不需要，但是题目中给出的要返回root节点的指针，可以直接使用题目定义好的函数，所以就函数的返回类型为TreeNode*。

TreeNode* invertTree(TreeNode* root)

2. 确定终止条件

当前节点为空的时候，就返回。

if (root == NULL) return root;

3. 确定单层递归的逻辑

因为是先前序遍历，所以先进行交换左右孩子节点，然后反转左子树，反转右子树。

swap(root->left, root->right);
invertTree(root->left);
invertTree(root->right);

基于这递归三步法，代码基本写完，C++代码如下：

class Solution {
public:
    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return root;
        swap(root->left, root->right);  // 中
        invertTree(root->left);         // 左
        invertTree(root->right);        // 右
        return root;
    }
};

二、迭代法：

使用前序遍历如下：

class Solution {
public:
    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return root;
        stack<TreeNode*> st;
        st.push(root);
        while(!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();              // 中
            st.pop();
            swap(node->left, node->right);
            if(node->right) st.push(node->right);   // 右
            if(node->left) st.push(node->left);     // 左
        }
        return root;
    }
};

题解：

//递归法
class Solution {
public:
    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return root;
        swap(root->left, root->right);
        invertTree(root->left);
        invertTree(root->right);
        return root;
    }
};

//迭代法
class Solution {
public:
    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        if (root != nullptr) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            st.pop();
            swap(node->left, node->right);
            if (node->left) st.push(node->left);
            if (node->right) st.push(node->right);
        }
        return root;
    }
};

101. 对称二叉树

题目链接

思路：

判断二叉树是否对称，要比较的是根节点的左子树与右子树是不是相互翻转的，理解这一点就知道了其实我们要比较的是两个树（这两个树是根节点的左右子树），所以在递归遍历的过程中，也是要同时遍历两棵树。

那么如何比较呢？

比较的是两个子树的里侧和外侧的元素是否相等。如图所示：

101. 对称二叉树1

遍历顺序只能是“后序遍历”，因为我们要通过递归函数的返回值来判断两个子树的内侧节点和外侧节点是否相等。

正是因为要遍历两棵树而且要比较内侧和外侧节点，所以准确的来说是一个树的遍历顺序是左右中，一个树的遍历顺序是右左中。

但都可以理解算是后序遍历，尽管已经不是严格上在一个树上进行遍历的后序遍历了。

递归三部曲：

1. 确定递归函数的参数和返回值

因为我们要比较的是根节点的两个子树是否是相互翻转的，进而判断这个树是不是对称树，所以要比较的是两个树，参数自然也是左子树节点和右子树节点。

返回值自然是bool类型。

代码如下：

bool compare(TreeNode* left, TreeNode* right)

2. 确定终止条件

要比较两个节点数值相不相同，首先要把两个节点为空的情况弄清楚！否则后面比较数值的时候就会操作空指针了。

节点为空的情况有：（注意我们比较的其实不是左孩子和右孩子，所以如下称之为左节点右节点）

左节点为空，右节点不为空，不对称，return false
左不为空，右为空，不对称 return false
左右都为空，对称，返回true

此时已经排除掉了节点为空的情况，那么剩下的就是左右节点不为空：

左右都不为空，比较节点数值，不相同就return false

此时左右节点不为空，且数值也不相同的情况我们也处理了。

代码如下：

if (left == NULL && right != NULL) return false;
else if (left != NULL && right == NULL) return false;
else if (left == NULL && right == NULL) return true;
else if (left->val != right->val) return false; // 注意这里我没有使用else

注意上面最后一种情况，没有使用else，而是else if，因为我们把以上情况都排除之后，剩下的就是左右节点都不为空，且数值相同的情况。

3. 确定单层递归的逻辑

此时才进入单层递归的逻辑，单层递归的逻辑就是处理左右节点都不为空，且数值相同的情况。

比较二叉树外侧是否对称：传入的是左节点的左孩子，右节点的右孩子。
比较内侧是否对称，传入左节点的右孩子，右节点的左孩子。
如果左右都对称就返回true ，有一侧不对称就返回false 。

代码如下：

bool outside = compare(left->left, right->right);   // 左子树：左、 右子树：右
bool inside = compare(left->right, right->left);    // 左子树：右、 右子树：左
bool isSame = outside && inside;                    // 左子树：中、 右子树：中（逻辑处理）
return isSame;

如上代码中，我们可以看出使用的遍历方式，左子树左右中，右子树右左中，所以我把这个遍历顺序也称之为“后序遍历”（尽管不是严格的后序遍历）。

这道题目也可以使用迭代法，但要注意，这里的迭代法并不是前中后序的迭代写法，因为本题的本质是判断两个树是否是相互翻转的，其实已经不是所谓二叉树遍历的前中后序的关系了。

这里我们可以使用队列来比较两个树（根节点的左右子树）是否相互翻转，（注意这不是层序遍历）。

通过队列来判断根节点的左子树和右子树的内侧和外侧是否相等，如动画所示：

101.对称二叉树

后面的条件判断和递归的逻辑是一样的。

其实可以发现，这个迭代法，其实是把左右两个子树要比较的元素顺序放进一个容器，然后成对成对地取出来进行比较，那么其实使用栈也是可以的。只要把队列原封不动地改成栈就可以了。

题解：

//递归法
class Solution {
public:
    bool compare(TreeNode* left, TreeNode* right) {
        if (left == nullptr && right == nullptr) return true;
        else if (left == nullptr && right != nullptr) return false;
        else if (left != nullptr && right == nullptr) return false;
        else if (left->val != right->val) return false;
        bool outside = compare(left->left, right->right);
        bool inside = compare(left->right, right->left);
        bool isSame = outside && inside;
        return isSame;
    }
    bool isSymmetric(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return true;
        return compare(root->left, root->right);
    }
};

//迭代法，用队列
class Solution {
public:
    bool isSymmetric(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return true;
        queue<TreeNode*> que;
        que.push(root->left);
        que.push(root->right);
        while (!que.empty()) {
            TreeNode* leftNode = que.front();
            que.pop();
            TreeNode* rightNode = que.front();
            que.pop();
            if (leftNode == nullptr && rightNode == nullptr) continue;
            if (!leftNode || !rightNode || leftNode->val != rightNode->val) return false;
            que.push(leftNode->left);
            que.push(rightNode->right);
            que.push(leftNode->right);
            que.push(rightNode->left);
        }
        return true;
    }
};

104. 二叉树的最大深度

题目链接

递归法思路：

本题可以使用前序（中左右），也可以使用后序遍历（左右中），使用前序求的就是深度，使用后序求的是高度。

二叉树节点的深度：指从根节点到该节点的最长简单路径边的条数或者节点数（取决于深度从0开始还是从1开始）
二叉树节点的高度：指从该节点到叶子节点的最长简单路径边的条数或者节点数（取决于高度从0开始还是从1开始）

而根节点的高度就是二叉树的最大深度，所以本题中我们通过后序求的根节点高度来求的二叉树最大深度。

我先用后序遍历（左右中）来计算树的高度。

1. 确定递归函数的参数和返回值：参数就是传入树的根节点，返回就返回这棵树的深度，所以返回值为int类型。

int getdepth(TreeNode* node)

2. 确定终止条件：如果为空节点的话，就返回0，表示高度为0。

if (node == NULL) return 0;

3. 确定单层递归的逻辑：先求它的左子树的深度，再求右子树的深度，最后取左右深度最大的数值再+1 （加1是因为算上当前中间节点）就是目前节点为根节点的树的深度。

int leftdepth = getdepth(node->left);       // 左
int rightdepth = getdepth(node->right);     // 右
int depth = 1 + max(leftdepth, rightdepth); // 中
return depth;

递归法题解：

class solution {
public:
    int getdepth(TreeNode* node) {
        if (node == NULL) return 0;
        int leftdepth = getdepth(node->left);       // 左
        int rightdepth = getdepth(node->right);     // 右
        int depth = 1 + max(leftdepth, rightdepth); // 中
        return depth;
    }
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        return getdepth(root);
    }
};

也可以使用前序，代码如下：(充分表现出求深度回溯的过程)

class solution {
public:
    int result;
    void getdepth(TreeNode* node, int depth) {
        result = depth > result ? depth : result; // 中

        if (node->left == NULL && node->right == NULL) return ;

        if (node->left) { // 左
            depth++;    // 深度+1
            getdepth(node->left, depth);
            depth--;    // 回溯，深度-1
        }
        if (node->right) { // 右
            depth++;    // 深度+1
            getdepth(node->right, depth);
            depth--;    // 回溯，深度-1
        }
        return ;
    }
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        result = 0;
        if (root == NULL) return result;
        getdepth(root, 1);
        return result;
    }
};

迭代法思路：

使用迭代法的话，使用层序遍历是最为合适的，因为最大的深度就是二叉树的层数，和层序遍历的方式极其吻合。

在二叉树中，一层一层的来遍历二叉树，记录一下遍历的层数就是二叉树的深度，如图所示：

层序遍历

所以这道题的迭代法就是一道模板题，可以使用二叉树层序遍历的模板来解决。

迭代法题解：

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        if (root == NULL) return 0;
        int maxDepth = 0;
        que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            maxDepth++;
        }
        return maxDepth;
    }
};

559. N叉树的最大深度

题目链接

思路：

与求二叉树的最大深度一样可以用递归法和迭代法，在写的时候注意题给的Node定义即可。

题解：

//递归法
class Solution {
public:
    int getDepth(Node* node) {
        if (node == NULL) return 0;
        int maxDepth = 0;
        for (Node* child : node->children) {
            maxDepth = max(maxDepth, getDepth(child));
        }
        return maxDepth + 1;
    }
    int maxDepth(Node* root) {
        return getDepth(root);
    }
};


//迭代法 层序遍历
class Solution {
public:
    int maxDepth(Node* root) {
        int maxDepth = 0;
        queue<Node*> que;
        if (root != NULL) que.push(root);
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                Node* node = que.front();
                que.pop();
                for (Node* j : node->children) {
                    if (j) que.push(j);
                }
            }
            maxDepth++;
        }
        return maxDepth;
    }
};

111. 二叉树的最小深度

题目链接

递归法思路：

求最小深度，直觉上好像和求最大深度差不多，其实还是差不少的。

本题依然是前序遍历和后序遍历都可以，前序求的是深度，后序求的是高度。

二叉树节点的深度：指从根节点到该节点的最长简单路径边的条数或者节点数（取决于深度从0开始还是从1开始）
二叉树节点的高度：指从该节点到叶子节点的最长简单路径边的条数后者节点数（取决于高度从0开始还是从1开始）

那么使用后序遍历，其实求的是根节点到叶子节点的最小距离，就是求高度的过程，不过这个最小距离也同样是最小深度。

以下讲解中遍历顺序上依然采用后序遍历。

本题还有一个误区，在处理节点的过程中，最大深度很容易理解，最小深度就不那么好理解，如图：

111.二叉树的最小深度

这就重新审题了，题目中说的是：最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

左右孩子都为空的节点才是叶子节点！

开始递归三部曲：

1. 确定递归函数的参数和返回值

参数为要传入的二叉树根节点，返回的是int类型的深度。

int getDepth(TreeNode* node)

2. 确定终止条件

终止条件也是遇到空节点返回0，表示当前节点的高度为0。

if (node == NULL) return 0;

3. 确定单层递归的逻辑

这块和求最大深度时不一样了，笔者初次写时错写成下面代码：

//错误示范
int leftDepth = getDepth(node->left);
int rightDepth = getDepth(node->right);
int result = 1 + min(leftDepth, rightDepth);
return result;

这个代码就犯了此图中的误区：

111.二叉树的最小深度

如果这么求的话，没有左孩子的分支会算为最短深度。

所以，如果左子树为空，右子树不为空，说明最小深度是 1 + 右子树的深度。

反之，右子树为空，左子树不为空，最小深度是 1 + 左子树的深度。最后如果左右子树都不为空，返回左右子树深度最小值 + 1 。

代码如下：

int leftDepth = getDepth(node->left);           // 左
int rightDepth = getDepth(node->right);         // 右
                                                // 中
// 当一个左子树为空，右不为空，这时并不是最低点
if (node->left == NULL && node->right != NULL) { 
    return 1 + rightDepth;
}   
// 当一个右子树为空，左不为空，这时并不是最低点
if (node->left != NULL && node->right == NULL) { 
    return 1 + leftDepth;
}
int result = 1 + min(leftDepth, rightDepth);
return result;

遍历的顺序为后序（左右中），可以看出：求二叉树的最小深度和求二叉树的最大深度的差别主要在于处理左右孩子不为空的逻辑。

迭代法思路：

迭代法依然是层序遍历的思路，需要注意的是，只有当左右孩子都为空的时候，才说明遍历到最低点了。如果其中一个孩子不为空则不是最低点。

题解：

//递归法
class Solution {
public:
    int getMinDepth(TreeNode* node) {
        if (node == NULL) return 0;
        int leftMinDepth = getMinDepth(node->left);
        int rightMinDepth = getMinDepth(node->right);
        if (!node->left && node->right) return 1 + rightMinDepth;
        if (node->left && !node->right) return 1 + leftMinDepth;
        return 1 + min(leftMinDepth, rightMinDepth);
    }
    int minDepth(TreeNode* root) {
        return getMinDepth(root);
    }
};

//迭代法 层序遍历
class Solution {
public:
    int minDepth(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return 0;
        queue<TreeNode*> que;
        que.push(root);
        int minDepth = 0;
        while(!que.empty()) {
            int size = que.size();
            minDepth++;
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
                if (!(node->left || node->right)) return minDepth;  // 当左右孩子都为空的时候，说明是最低点的一层了，退出
            }
        }
        return minDepth;
    }
};

222. 完全二叉树的节点个数

题目链接

思路：

本题按照普通二叉树的递归法和迭代法来求依然是可以的。

也可以依照完全二叉树的性质来求，但前提是要清晰上面介绍的完全二叉树的定义。

完全二叉树只有两种情况，情况一：就是满二叉树，情况二：最后一层叶子节点没有满。

对于情况一，可以直接用 2^树深度 - 1 来计算，注意这里根节点深度为1。

对于情况二，分别递归左孩子，和右孩子，递归到某一深度一定会有左孩子或者右孩子为满二叉树，然后依然可以按照情况一来计算。

完全二叉树（一）如图：

222.完全二叉树的节点个数

完全二叉树（二）如图：

222.完全二叉树的节点个数1

可以看出如果整个树不是满二叉树，就递归其左右孩子，直到遇到满二叉树为止，用公式计算这个子树（满二叉树）的节点数量。

这里关键在于如何去判断一个左子树或者右子树是不是满二叉树呢？

在完全二叉树中，如果递归向左遍历的深度等于递归向右遍历的深度，那说明就是满二叉树。如图：

在完全二叉树中，如果递归向左遍历的深度不等于递归向右遍历的深度，则说明不是满二叉树，如图：

下面这棵二叉树，递归向左遍历的深度等于递归向右遍历的深度，但也不是满二叉树，因为它根本就不是一棵完全二叉树！如图：

判断其子树是不是满二叉树，如果是则利用公式计算这个子树（满二叉树）的节点数量，如果不是则继续递归，那么在递归三部曲中，第二部：终止条件的写法应该是这样的：

if (root == nullptr) return 0; 
// 开始根据左深度和右深度是否相同来判断该子树是不是满二叉树
TreeNode* left = root->left;
TreeNode* right = root->right;
int leftDepth = 0, rightDepth = 0; // 这里初始为0是有目的的，为了下面求指数方便
while (left) {  // 求左子树深度
    left = left->left;
    leftDepth++;
}
while (right) { // 求右子树深度
    right = right->right;
    rightDepth++;
}
if (leftDepth == rightDepth) {
    return (2 << leftDepth) - 1; // 注意(2<<1) 相当于2^2，返回满足满二叉树的子树节点数量
}

递归三部曲，第三步，单层递归的逻辑：（可以看出使用后序遍历）

int leftTreeNum = countNodes(root->left);       // 左
int rightTreeNum = countNodes(root->right);     // 右
int result = leftTreeNum + rightTreeNum + 1;    // 中
return result;

题解：

递归法——时间复杂度：O(n)；空间复杂度：O(log n)，算上了递归系统栈占用的空间。

//递归法 后序遍历
class Solution {
public:
    int count(TreeNode* node) {
        if (node == NULL) return 0;
        int leftNum = count(node->left);
        int rightNum = count(node->right);
        return 1 + leftNum + rightNum;
    }
    int countNodes(TreeNode* root) {
        return count(root);
    }
};

迭代法——时间复杂度：O(n)；空间复杂度O(n)。

//迭代法 层序遍历
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        if (root != NULL) que.push(root);
        int count = 0;
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                count++;
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
        }
        return count;
    }
};

利用完全二叉树性质的递归——时间复杂度：O(log n × log n)；空间复杂度：O(log n)。

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        TreeNode* left = root->left;
        TreeNode* right = root->right;
        int leftDepth = 0, rightDepth = 0; // 这里初始为0是有目的的，为了下面求指数方便
        while (left) {  // 求左子树深度
            left = left->left;
            leftDepth++;
        }
        while (right) { // 求右子树深度
            right = right->right;
            rightDepth++;
        }
        if (leftDepth == rightDepth) {
            return (2 << leftDepth) - 1; // 注意(2<<1) 相当于2^2，所以leftDepth初始为0
        }
        return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
    }
};

这里利用移位运算实现 2^(最大深度) - 1 的运算颇为巧妙。