集合论基本概念——加细(refinement)

最新推荐文章于 2025-05-20 07:00:00 发布

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分类专栏：数学与应用数学文章标签：集合论拓扑学加细细化集合分割分割子集

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2.3. 理解加细(Exploring Refinement)

1. 定义

一个覆盖 Y 的加细是一个覆盖X，加细操作使得每一个元素 x∈X都是一个元素y∈Y 的子集。

理解：也就是说，加细是针对覆盖(一系列集合构成的集合(集合族)，其元素是集合)而言，对一个覆盖加细(即进一步分割)后，就得到另一个覆盖。

用分割表述加细：对于2个分割 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ , 若 $P_{1}$ 中的每一个元素(即集合)都是 $P_{2}$ 中某一个集合的子集，则称分割 $P_{1}$ 是分割 $P_{2}$ 的一个加细(refinement)。

理解：由居住在同一县(county)(或教区(parish))和同一州的人民的子集组成的居住在美国的人群集合的一个分割是居住在同一州的人群子集分割的一个加细。简言之：分割 $P_{1}$ 是分割 $P_{2}$ 的细化，因为基于县的分割中的每个子集也是基于州的分割的子集。

2. 主要概念

2.1. 子集(subsets)

在集合论中，一个子集 A 是其仅包含来自另一个集合B 的元素的集合，表示为 A ⊆ B。例如，B = { 1 ,2 ,3 ,4 } ，则 A = {1 , 2 } 是的一个子集。

2.2. 分割(partitions)

分割将集合划分为不重叠的子集，其中每一个元素都只包含在某一个子集中。例如，如果我们有一个集合 S = {1，2，3，4}，则一个可能的分割是子集族 {1，2}，{3，4}(或表示为 { {1，2}，{3，4} })。每一个子集都是不相交的(脱离的)，合在一起，它们包含(覆盖)整个集合 S 。

2.3. 理解加细(Exploring Refinement)

在讨论分割加细时，我们的意思是一个分割 ( $P_{1}$ ) 比另一个分割 ( $P_{2}$ ) 更详细(detailed)或更细化(granular)(我们称更细的这个分割为加细分割，被细分成的这个分割为一个加细(refinement))。如果 $P_{1}$ 是 $P_{2}$ 的一个加细，则 $P_{1}$ 中的每个子集必然完全包含于 $P_{2}$ 的子集中。