趣味三角——第10章——(sinx)/x

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无穷积分 ∫sinx/xdx 的几种巧妙解法狄利克雷积分 ∫sinx/xdx 是一个比较常见的无穷积分，在很多领域有着重要应用，在此介绍几种巧妙解法。阅读详情

AI摘要

文章讨论了微积分中的特殊函数(sinx)/x，它是一个偶函数，具有阻尼振荡的特点。函数的极值点不是sinx的极值点，这通过解超越方程来说明。尽管其积分不能用初等函数表示，但它引出了正弦积分Si(x)的概念。文章还通过地球的几何形状探讨了在曲面上测量周长与半径比例的变化，揭示了球体的特性，并提到了方位角等距地图在描绘地球表面时的变形现象。

第10章函数(sinx)/x

I call our world Flatland, not because we call it so, but

to make its nature clear to you, my happy readers, who

are privileged to live in Space.

(我称我们的世界为平面国，这样称呼它并不是我的本意，而是为了让你们明白它的本质，我快乐的读者，你们有幸生活在太空中。)

——Edwin A. Abbott, <<Flatland>>(平面国) (1884)

学习微积分的学生在他们学习的初期往往会遇到函数(sin x)/x，那时展示的等式为 $\lim_{x->0}\frac{sinx}{x}=1$ ;然后这个等式用于建立微分公式(sinx)' = cos x，(cos x)' = -sin x 。然而，一旦这样做，这个功能很快就会被遗忘，学生也很少再看到它。这很不幸，因为这个看起来简单的函数不仅具有一些非凡的特性，而且它还出现在许多应用程序中，有时甚至出乎意料。

首先，我们注意到，该函数是为除 0 之外的x 的所有值定义的；但是我们也知道，随着x变得越来越小——这个比率(sin x)/x——假设x以弧度度量——趋近于1。这就向我们提供了一个“可移动奇点(removable singularity)”的简单例子：我们可以将(sin 0)/0的定义简化为1,这样定义可以确定函数在x = 0附近的连续性。

让我们用f(x)表示我们的函数，并根据x的各种值绘制函数曲线；其结果生成的图形如图61所示。

-----------------------图61 函数(sin x)/x 的函数图形-----------------------

此函数有两个特征不同于函数g(x) = sin x :首先，其图形关于y轴对称；即，对于所有x值，有f(-x) = f(x)(用代数语言讲，f(x)是一个偶函数，如此称谓是因为具有这种性质的最简单的函数形式是n取偶数值时的函数 $y=x^{n}$ )。相对比而言，函数g(x) = sin x 对所有x值具有性质g(-x) = -g(x)(具有这种性质的函数称为奇函数，例如，n取奇数值时的函数 $y=x^{n}$ )。为了证明(sin x)/x是偶函数，我们只需注意，f(-x) = (sin -x)/(-x) = (sin x)/(x)= f(x)。第二，不同于sin x的图形，其上下振荡(oscillations)被限制在-1到1的范围内(即正弦波具有恒定的幅度1)，(sin x)/x的图形表示阻尼振荡(damped oscillations)的振幅随|x|的增加而稳定地下降。实际上，我们可以将函数看成一种正弦波被两条封闭线y = ±/x 挤压(squeezed)而成。现在，我们希望定位函数的极点(extreme points)——占据函数的最大值或最小值的点。在这里，惊喜正在等待着我们。我们知道，g(x) = sin x的极值发生在π/2的所有奇数倍的点，即，x = (2n + 1)π/2。因此，对于函数f(x) = (sin x)/x而言，我们可能期望其极值点也是如此。然而，事实即并非如此。为了求得极值点，我们使用商式法式微分函数，并令微分函数等于0：

${f}'(x) = (xcosx-sinx)/x^{2} = 0 ---------------------(1)$

现在，假如这个结果等于0，则其分子自身(numerator)必须等于0，因此，我们有x cos x – sin x = 0 , 据此，我们得到

$tan x = x --------------------------(2)$

遗憾的是，方程(2)不能通过封闭公式(closed formula)求解，比如说，不能按照解二次方程的方式去求解；它是一个超越方程(transcendental equation)，其根可以通过作图方式求得，因为其根为函数y = x和y = tan x的图形上的交点(如图62所示)。我们可以看到，存在无穷尺的这样的点，其横坐标我们用 $x_{n}$ 表示。显然，这些是sin x的极值点。随着x以绝对值的形式增加，这些点的函数值迅速地超近于tan x的渐近线(asymptotes),即，趋近于(2n + 1)π/2 ；显然，这些都是sin x的极值点。这是意料之中的，因为随着|x|的增加，1/|x|以本身正在下降的速度下降，因此它对sin x的变化的影响逐渐减小。 $x_{n}$ 的前几个值在表2中给出。

-------------------------------------图62 tan x = x的根---------------------------------------

函数(sin x)/x的极值点的奇特行为与另一种阻尼振荡(damped oscillations) $e^{-x}sinx$ 形成鲜明的对比。正如读者自己可以很容易验证的那样，相对于函数(sin x)/x而言，这儿的极值点向左方向移动一个π/4的常量。探讨完函数f(x)的一般形状之后，下一个有趣的问题就是求得图形之下与一段x取值之间的范围的面积，比如说，从x = 0到某个其它x值之间的范围的面积。这个面积由定积分给出

$\int_{0}^{x}\frac{sint}{t}dt$

表2

其中，我们使用t来表示积分变量，以区别于积分上限x。为了计算这个积分值，我们首先会找到函数(sin x)/x的不定积分或反导数的通式。唉(alas)，这是徒劳的(futile)尝试！微积分的一个奇怪事实是，许多看起来简单的函数的反导数不能用“初等函数(elementary functions)”来表示，即不能通过多项式和多项式的比率、指数函数和三角函数及其反函数，以及任何这些函数的有限组合来表示。(sin x)/x就属于这一种情况，(cos x)/x, $e^{x}/x$ , $e^{x^{2}}$ 也是这种情况。当然，这并不意味着这些函数的反导数不存在——只是意味着它们不能用初等函数表示为“封闭形式(closed form)”。事实上，以上积分得出的函数，被视为其积分上限x的函数。“定义了”一个新的、“更高(higher)”的函数，称为正弦积分(sine integral)，用Si(x)表示：

$Si(x) = \int_{0}^{x}\frac{sint}{t}dt$

虽然我们不能用初等函数表示Si(x)，但我们仍然可以计算它的值并将它们绘制在图表上(图 63)。这是通过将正弦函数写成幂级数(power series)来完成的， $sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - + ...$ ，每一项通过x划分，然后一项一项地积分。则结果是 $Si(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - + ...$ ，

这是一个对所有x都收敛的级数。

当我们让上限 x 无限增加时，图形下方的面积是否会接近极限？答案是肯定的；可以证明这个极限是π/2 [1]，换句话说，

$Si(\infty) = \int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}/dx = \pi /2 -------------(3)$

这个重要的积分种为Dirichlet积分(Dirichlet integral)，以德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805–1859)的名字命名。通过用 sin kx 替换 sin x 获得此积分的意外副产品,其中k是常量，则用u表示为u = kx 。我们发现，新的积分值为π/2 或-π/2 , 具体取决于k取正或取负(后一种情况，积分上限变成了-∞,因此，进一步使用v = -u置换,将得到结果-π/2)。因此，我们有下面的结果：

------------------图63 $Si(x) = \int_{0}^{x}\frac{sint}{t}dt$ 的图形-------------------------------

但是右边的表达式，被认为是 k 的函数，是图 64 中所示的“符号函数(sign function)”。我们这里有一个函数的整数表示的最简单的例子；在应用数学中经常需要这种表示。左边的积分就是著名的Dirichlet不连续因子(Dirichlet’s discontinuity factor)。

----------------------------------图64 符号函数的图形----------------------------------------

在函数 (sin x)/x的很多出现情况中，我们将在这里考虑取自地球这种情况。在学校生活的初期，我们就知道我们的地球是圆的，尽管这个事实花了很多世纪才被普遍接受(当宇宙飞船的图像显示地球是圆的时，最后一个地球是平的信徒最终放弃了执着)。事实上，对于外行人来说，我们生活在一个圆的世界上这一点并不明显——当然，我们的大部分日常经历可以更自然地解释为平坦的地球。我们只是间接地，主要是通过天文观测，才知道地球是圆的。

Edwin A. Abbott在他的经典数学小说<<平坦国度>>(Flatland)中描述了一个二维世界，类似蚂蚁的(antlike)生物(creatures)可以前后左右移动，但不能上下移动。如果这些“平地人(flatlanders)”居住在我们的地球上，他们将不会意识到地球是球形的：从他们的角度来看，地球看起来像桌面一样平坦。但是有一天，他们决定探索他们的世界，一心想要发现其潜在的几何结构。从北极开始，用一根拉长的绳子作为指南针，他们在北极周围画圈，半径越来越大。然后他们测量每个圆的周长并用半径表示。回到家里，他们对在学校学到的东西进行了测试——圆的周长与半径之比对于所有圆都是相同的，约为 6.28。对于小圈子，他们发现，令他们高兴的是，这似乎确实如此。但随着圆圈变大，放心变成怀疑，然后是失望：我们的平地人发现圆周与半径之比毕竟不是恒定的。

要了解其中的原因，让我们利用作为三维生物而赋予我们人类的特权：我们知道我们的世界是圆的。让我们用R表示地球的半径(假设是一个完美的球体)。要找到围绕北极的圆的周长，我们需要知道它的半径，这取决于圆的地球纬度。为了简单起见，假设我们不是从赤道(equator)纬度测量开始，就像在地理中所做的那样，而是从北极开始，则纬度θ的圆的半径是r = Rsin θ(见图65),它的周长是

c = 2πRsin θ -----------------------------------------------(5)

-----------------------------------------------图65 地球上的纬度θ圆-------------------------------------------

这个结果，对于我们三维的人来说当然是完全满意的，但是对于我们二维的地球居民来说就完全没有意义了。他们不知道他们生活在一个曲面上，如果有人告诉他们他们认识的的平面世界实际上是球形的，他们确实会感到困惑。对他们来说，像 R 这样的量，取自三维空间，无法直接测量，就像小学生求四维“球体”的体积一样毫无意义。

为了使公式有意义，我们必须用我们的居民可以测量的变量来表达它。实际上，从他们的角度来看，当在地球表面测量的时候，最重要的变量是圆的半径。让我们用希腊字母ρ(rho)来表示这个半径。假如我们以半径来度量θ，我们有ρ = Rθ ，因此，R = ρ/θ。以方程(5)置换这个等式，我们得到

$c = 2\pi\rho (sin \theta)/\theta--------------------------(6)$

因此，周长不仅取决于半径，还取决于纬度。

在考虑这个公式的结果之前，我们可能想知道当我们的居民不知道他们的世界是球形的时候他们将如何测量纬度θ。他们可能会通过观察头顶的天空获得线索：他们可能会注意到，就像古代航海者所做的那样，整个天体(celestial sphere)似乎每24小时围绕一颗似乎静止不动的恒星——北极星——旋转一圈。此外，北极星在地平线上的高度随着向南移动而逐渐降低；事实上，他们发现北极星与天顶(天球上观察者正上方的点)之间的角度与距北极的距离成正比(由方程式ρ = Rθ推断出)。

现在我们的居民已经准备好测试他们在几何课上学到的东西。对于小纬度(与北极的角距)，他们会发现比率c/ρ 确实看起来是恒定的，或者几乎是恒定的，如表3所示。他们的测量员最初可能会认为由于测量误差而导致的恒定性的小差异，但很快就会清楚比率c/ρ不是恒定的，而是随θ减小，如表4所示。(最后一个条目中的4反映了这样一个事实，即从极点到赤道的距离恰好是赤道周长的四分之一。) 如果我们的居民将表格进一步扩展——即进入南半球——比率c/ρ将继续减少，直到它在180°(南极)处变为零。仍然没有意识到他们的世界是圆的，他们将对他们所了解的周长与半径比的恒定性失去任何剩余的信心。[2] 但也许一些聪明的平面居民可能会以不同的方式解释这些发现并得出结论，他们生活的世界实际上是弯曲的。那个聪明的平地人将作为三维的发现者载入史册。

表3

注意：在方程(6)中，所有的角必须首先转换成弧度(1°= π/180弧度)。

表4

我们实际上可以绘制平地人所见的世界地图。被称为方位角等距地图(azimuthal equidistant map)，它显示了从位于地图中心的固定预选点到地球上任何其他点的所有“直线”距离和方向。(球体上两点之间的“直线”是连接它们的大圆的弧线——该圆通过两点并以球心为圆心[图 66]；它表示两点之间的最短距离。) 图 67 显示了这样一张以旧金山为中心的地图；我们看到从旧金山到莫斯科的直达路线经过北极，而且莫斯科到旧金山的距离比旧金山到里约热内卢的距离更近。请注意，非洲、南极洲和澳大利亚在形状和大小上都出现了极度扭曲；这是因为以固定点为中心的半径圆在地图上的周长为2πρ，而在地球上它的周长为 $2\pi\rho \frac{sin\theta}{\theta}$ ，其中θ与图 65 中的含义相同，但固定点代替了北极。因此，固定点周围的同心圆相对于它们在地球上的真实大小的比例被放大了1：[(sin θ)/θ]倍，或θ：sin θ倍。当θ = 180°时，即在固定点的对极点(the antipode)(地球上与它相对的点)时，这个放大因子随着θ增加并变得无穷大。在方位等距地图上，整个外边界代表中心点的对映体(antipode)；它标志着我们平地人宇宙的边缘——他们在任何方向上都能到达的最远点。他们发现他们的宇宙虽然没有边界，但却是有限的。

-------------------------------------------图66 大圆弧-----------------------------------

--------------图67 以旧金山为中心的方位角等距世界地图。----------------------

注释和资料来源：

1. 这个证明并不简单；参见Richard Courant的著作<<Differential and Integral Calculus>>(微积分)( London: Blackie & Son, 1956年版)，卷1,第251-253页，以及第444-450页；使用复平面积分的替代证明,参见Erwin Kreyszig所著<<Advanced Engineering Mathematics>>(高等工程数学)( New York: John Wiley, 1979年版),第735-736页。

2. 与半径ρ的“圆”(实际上是球冠(spherical cap))的面积相关的情况也会出现类似情况。这个面积由公式A = 2πRh得出，其中h是冠的高度(从其底到球顶的垂直距离)。现在 $h = R(1-cos \theta) = 2R sin^2(\theta/2)$ , 因此， $A = 4\pi R^2 sin^2(\theta/2) = 4\pi(\rho/\theta)^2 sin^2(\theta/2) = \pi\rho^{2} \left \{\left [ (sin\theta)/2) \right ] /(\theta/2) \right \}^{2}$ 。如果我们想求得比率因子A /ρ2，则需要{[sin⁡(θ/2)]/(θ/2)}2的一个“校正(correction factor)”因子。