sin x和cos x的导数

我们都知道$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$，但是为什么呢？

$\sin x$的导数

$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$

根据三角函数公式中的和差公式可得

原式$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos \Delta x+\sin \Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x\cos x}{\Delta x}$

由无穷小替换可得，当$x\to 0$时，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，$\sin x\sim x$

所以原式$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin x\times \frac{1}{2}\Delta x+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos x=-0+\cos x=\cos x$

$\cos x$的导数

与$\sin x$的导数类似，证明如下。

$\cos x=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x}$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{2}\cos x\Delta x-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin x$

$=-0-\sin x$

$=-\sin x$

所以$(\cos x{)}^{\prime }=\sin x$