多用户MIMO系统的数学模型，BC信道容量和编码方式

参考书目：《MIMO-OFDM无线通信技术及MATLAB实现》第13章

1. 数学模型

$N_{\mathrm{Rx}}\times N_{\mathrm{Tx}}$ 单用户 $\mathrm{MIMO}$ 系统的信道容量与 $N_{\min }=\min \left(N_{\mathrm{Tx}},N_{\mathrm{Rx}}\right)$成正比。事实上, 在高信噪比情况下, MIMO 技术是一种增加容量的必要方法, 它能够提供最多 $N_{\min }$ 个空间自由度。在单用户 MIMO 系统中, 空间复用技术能够支持高数据速率的点对点传输, 同时还能提供空间分集增益（使用多个时频空资源等发送信号副本）。

一个典型的多用户通信环境: 在蜂窝系统中, 一个基站 (BS) 同时服务多个移动台 (MS), 并为他们分配通信资源, 如时间、频率和空间流。假设 BS 和每个 MS 分别有 $N_{\mathrm{B}}$ 和 $N_{\mathrm{M}}$ 根天线。因为 $K$ 个独立的用户可以形成一个 $K\cdot N_{\mathrm{M}}$的虚天线集, 当与一个具有 $N_{\mathrm{B}}$ 根天线的 BS 通信时, 这种端到端配置可以被认为是一个 $\left(K\cdot N_{\mathrm{M}}\right)\times N_{\mathrm{B}}$ 的 MIMO 下行系统, 或者被认为是一个 $N_{\mathrm{B}}\times \left(K\cdot N_{\mathrm{M}}\right)$ 的 MIMO 上行系统。在这个多用户通信系统中, 多天线允许独立的用户在上行链路 (多对一) 同时发送各自的数据流, 或者 BS 在下行链路 (一对多) 向多个用户发送数据流, 其中每个用户独立解码。这归因于多天线增加了自由度, 如同在单用户 MIMO 系统中一样。

在多用户MIMO系统，下行和上行信道分别称为广播信道（Broadcast Channel, BC）和多址接入信道（Multiple Access Channel, MAC）。在MAC中，基站的接收机可以获得K个独立用户的所有数据流，此时多用户MIMO系统相当于一个$\left(K\cdot N_{\mathrm{M}}\right)\times N_{\mathrm{B}}$ 的上行单用户MIMO系统。多用户MIMO系统上行容量与$\min \left(N_{\mathrm{B}},K\cdot N_{\mathrm{M}}\right)$成正比。

考虑有 $K$ 个独立用户的多用户 MIMO 系统。假设 BS 和每个 MS 分别配置 $N_{\mathrm{B}}$ 和 $N_{\mathrm{M}}$ 根天线。图 13.2 显示了具有 $K$ 个独立用户的上行信道。令 $x_u\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{M}}\times 1},u=1,\cdots ,K$, 表示来自第 $u$ 个用户的发送信号; ${\mathbf{y}}_{\mathrm{MAC}}\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{B}}\times 1}$ 表示 $\mathrm{BS}$ 的接收信号; ${\mathbf{H}}_u^{\mathrm{UL}}\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{B}}\times N_{\mathrm{M}}},u=1,\cdots ,K$, 表示第 $u$ 个用户和基站之间的信道增益。那么, 接收信号可以表示为
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{y}}_{\mathrm{MAC}}& ={\mathbf{H}}_1^{\mathrm{UL}}{\mathbf{x}}_1+{\mathbf{H}}_2^{\mathrm{UL}}{\mathbf{x}}_2+\cdots +{\mathbf{H}}_K^{\mathrm{UL}}{\mathbf{x}}_K+\mathbf{z}\\ & =\underset{{\mathbf{H}}^{\mathrm{UL}}}{\underbrace{\left[{\mathbf{H}}_1^{\mathrm{UL}}{\mathbf{H}}_2^{\mathrm{UL}}\cdots {\mathbf{H}}_K^{\mathrm{UL}}\right]}}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_K\end{array}\right]+\mathbf{z}={\mathbf{H}}^{\mathrm{UL}}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_K\end{array}\right]+\mathbf{z}\end{array}$$

其中, $z\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{B}}\times 1}$ 为接收机的加性噪声, 将其建模为一个 ZMCSCG 随机向量。

另一方面, 图 13.3 显示了下行信道, 其中 $\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{B}}\times 1}$ 为 $\mathrm{BS}$ 的发射信号, ${\mathbf{y}}_u\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{M}}\times 1}$ 为第 $u$ 个用户的接收信号, $u=1,2,\cdots ,K$ 。令 ${\mathbf{H}}_u^{\mathrm{DL}}\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{M}}\times N_{\mathrm{B}}}$ 表示 $\mathrm{BS}$ 和第 $u$ 个用户之间的信道增益。在BC中, 第 $u$ 个用户的接收信号可以表示为
$${\mathbf{y}}_{\mathbf{y}}={\mathbf{H}}_u^{\mathrm{DL}}\mathbf{x}+{\mathbf{z}}_u,u=1,2,\cdots ,K$$

其中, $z_u\in {\mathbb{C}}^{N_{\mathrm{M}}\times 1}$ 为第 $u$ 个用户的加性 ZMCSCG 噪声。用单个向量表示所有用户的信号, 则整个系统可以表示为
$$\begin{array}{c}\underset{{\mathbf{y}}_{\mathrm{BC}}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{y}}_1\\ {\mathbf{y}}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{y}}_K\end{array}\right]}}=\underset{{\mathbf{H}}_{\mathrm{DL}}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{H}}_1^{\mathrm{DL}}\\ {\mathbf{H}}_2^{\mathrm{DL}}\\ ⋮\\ {\mathbf{H}}_K^{\mathrm{DL}}\end{array}\right]}}\mathbf{x}+\underset{\mathbf{z}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_1\\ {\mathbf{z}}_2\\ ⋮\\ z_K\end{array}\right]}}\end{array}$$

2. BC信道容量

高斯广播信道的容量区域仍然是一个没有解决的问题。本节将讨论在 $N_{\mathrm{B}}=2、N_{\mathrm{M}}=1、K=2$的情况下, 使用脏纸编码 (Dirty Paper Coding, DPC) 可以获得的下行信道容量。在这种情况下, 式 (1) 中的接收信号可以表示为
[y1y2]⏟DBC=[H1DLH2DL]⏟HDL[x1x2]+[z1z2] \underbrace{\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 \end{array}\right]}_{\boldsymbol{D}_{\mathrm{BC}}}=\underbrace{\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{H}_1^{\mathrm{DL}} \\ \boldsymbol{H}_2^{\mathrm{DL}} \end{array}\right]}_{\boldsymbol{H}^{\mathrm{DL}}}\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{z}_1 \\ z_2 \end{array}\right] DBC​ [y1​y2​​]​​=HDL [H1DL​H2DL​​]​​[