关于一些函数求前缀和的问题

1.设$f(n)$为n的因子的和，求：

$$\sum_{i=1}^nf(i)$$
其中$n<10^{12}$

做法其实也是常见的套路：

$$ans=\sum_i^n\sum_j^n[j|i]*j\\=\sum_j^n j\sum_i^n[j|i]\\=\sum_{j=1}^nj\lfloor\frac{n}{j}\rfloor$$

这个就很显然了，分块求就行了，复杂度$O(\sqrt n)$

2.有欧拉函数$\phi(x)$,求：

$$\sum_{i=1}^n\phi(i)$$
其中$n<10^{11}$
这个之前讲过了，杜教筛套路一波。复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$

3.有莫比乌斯函数$\mu(x)$,求：

$$\sum_{i=1}^n\mu(i)$$
其中$n<10^{11}$
同样杜教筛套路一波。复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$

4.设:

$$f(n)=\sum_{i=1}^n\frac{i}{gcd(n,i)}\\F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$$
求：$F(n) \%(10^9+7),n<10^{9}$

则：

$$f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n}[gcd(i,n)==d]*\frac{i}{d}\\ =\sum_{d|n}^n\sum_{d|i}^n[gcd(i,n)==d]*\frac{i}{d}\\ =\sum_{d|n}^n\sum_{d|i}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})==1]*\frac{i}{d}\\ =\sum_{d|n}^n\sum_{k}^{\frac{n}{d}}[gcd(k,\frac{n}{d})==1]*k$$
可以发现 里面的和式其实就是欧拉函数$\phi(x)$里所有与x互质的数的和设为$h(x)$。
则： $$f(n)=\sum_{d|n}h(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}h(d)\\ =\frac{1}{2}(1+\sum_{d|n}d\phi(d))$$
所以: $$F(n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}(1+\sum_{d|i}d\phi(d))\\ =\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}d\phi(d)$$

设：

$$g(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}d\phi(d)$$
实际上就是求$g(n)$,则： $$g(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}d\phi(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}d\phi(d)$$

发现不是很好搞阿。。。
设$\phi'(n)=n\phi(n)$,容易验证$\phi'(n)$是积性函数。
里面有类似的狄利克雷卷积的结构，能不能找另一个积性函数和他卷一卷？(未完待续