What day is that day? ZOJ - 3785 (数学)（二项式）（等比数列求和）

It’s Saturday today, what day is it after $1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + N^N$ days?

Input
There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T indicating the number of test cases. For each test case:

There is only one line containing one integer N (1 <= N <= 1000000000).

Output
For each test case, output one string indicating the day of week.

Sample Input
2
1
2
Sample Output
Sunday
Thursday
Hint
A week consists of Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday and Saturday.

思路：因为发现网上没有一个人的解法是和我的一样的，特写一篇。

设

$$f(n)=1+2^2+3^3+...+n^n$$
本质上是求的是$f(n)\ mod\ 7$
本来是我觉得也是要找规律的，但是队友说没有找出额。所以我就开始推该怎么简化这个公式的计算了。
欧拉降幂也想过，后来是就是相当于求$1^k+2^k+..n^k$感觉写起来比较复杂，需要知道k为2到6的所有的公式，实际上k在3之前的公式我都是知道的，但是后面的就比较复杂，也可以推导。所以放弃了。。。
后来观察到： $$a^b\equiv (a\ mod\ 7)^b(mod\ 7)$$
这个证明只需要高中的知识：
a可以写成$a=a'+7k$,所以$a^b=(a'+7k)^b$,那么以此二项式展开，除了第一项$C_n^0a^b$,其他项都会带有7这个项数，所以都会被7整除，得证。
所以我们就可以按照指数分类了
如：
$1+1^8+1^{15}+...+1^{7k-6}$
$2^2+2^{9}+2^{16}+...+2^{7k-5}$
显然这个就是一个等比数列求和。
我们设首项为$i^i(1<i<7)$,当i为1时，就直接求一的个数就可以了,那么公比为$i^7$,项的个数为$\lfloor \frac{n+7-i}{7}\rfloor$
然后带到设 $f(a1,q,n)=\frac{a_i(q^n-1)}{q-1}$即可。
所以 $$ans=\lfloor\frac{n+6}{7}\rfloor+\sum_{i}^{1<i<7}f(i^i,i^7,\lfloor \frac{n+7-i}{7}\rfloor)$$
然后记得给$ans$对7取模就可以啦。对了因为求和公式有除法，在实现的时候求个对7的逆元就可以啦。哒哒～
代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#define mod 7
using namespace std;
char str[10][20] = {"Sunday", "Monday", "Tuesday", "Wednesday", "Thursday", "Friday", "Saturday"};
int P(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int inv[8];
int work(int x)
{
    int ans=((x+6)/7)%mod;
    for(int i=2;i<7;i++)
    {
        int num=(x+7-i)/7;
        int q=P(i,7);
        int a1=P(i,i);
        ans=(ans+a1*(P(q,num)+6)%mod*P(q+6,5))%mod;
    }
    return ans;
}
int main() {
    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        int n; scanf("%d", &n);
//        printf("%s\n", str[(work(n) + 6) % 7]);
        puts(str[(work(n) + 6) % 7]);
    }

    return 0;
}