[组合斯特林数] Codeforces 932E. Team Work_斯特林数计数 codeforce-优快云博客

本文探讨了利用斯特林数解决特定形式的组合数学求和问题，并提供了一种高效的算法实现，时间复杂度为O(k^2)。通过将原始问题转化为斯特林数和排列组合的计算，给出了一种新颖的求解思路。

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a n s = \sum i = 1 n (n i) i k

$ans=\sum_{i=1}^n{n\choose i}i^k$

用斯特林数展开 $i^k$

a n s = \sum i = 1 n (n i) \sum j = 1 k S (k, j) A (i, j)

$ans=\sum_{i=1}^n{n\choose i}\sum_{j=1}^kS(k,j)A(i,j)$

= \sum j = 1 k S (k, j) \sum i = 1 n (n i) A (i, j)

$=\sum_{j=1}^kS(k,j)\sum_{i=1}^n{n\choose i}A(i,j)$

考虑 $\sum_{i=1}^n{n\choose i}A(i,j)$ 的组合意义

$n$ 个物品里选 $j$ 个的排列，剩下的 $n-j$ 可选可不选

那么 $\sum_{i=1}^n{n\choose i}A(i,j)=A(n,j)\times 2^{n-j}$

所以答案就是 $\sum_{j=1}^kS(k,j)\times A(n,j)\times 2^{n-j}$

$O(k^2)$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=5010,P=1e9+7;

int S[N][N];

inline int Pow(int x,int y){
  int ret=1;
  for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%P) if(y&1) ret=1LL*ret*x%P;
  return ret;
}

inline int A(int n,int j){
  int ret=1;
  for(int i=0;i<j;i++)
    ret=1LL*ret*(n-i)%P;
  return ret;
}

int main(){
  S[0][0]=1;
  for(int i=1;i<=5000;i++){
    for(int j=1;j<=i;j++)
      S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1LL*j*S[i-1][j])%P;
  }
  int ans=0;
  int n,k; scanf("%d%d",&n,&k);
  for(int j=1;j<=k && j<=n;j++)
    ans=(ans+1LL*S[k][j]*A(n,j)%P*Pow(2,n-j))%P;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}