【NOI2019模拟2019.6.20】san（最小割）_san题解网络流-优快云博客

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博客围绕一个网络流题目展开，已知1<=n<=50。作者起初未往流的方向思考，而是先确定了O(2n∗n2)的做法，通过枚举点判断能否作为turpo序区间，给出判断条件。还介绍了拆点、连边等操作，最终得出Ans=∑a[x]>0a[x]−最小割的结果。

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Description：

在这里插入图片描述
1<=n<=50

题解：

我的网络流学的怎么这么菜啊，GDOI时也是网络流的题一分没有。

好吧看到n<=50时的时候我就根本没有想过这是个流，就想着乱搞去了。

首先确定一个 $O(2^n*n^2)$ 的做法，就是我们枚举一些点，判断它们是否能够作为turpo序一个区间。

判断条件也比较好想： $不存在 i, j, k ，使 i, j \in S, k \in / S ，且 i 能通过 k 到 j$

也就是对一条路径上的点，一定是先不选，然后选，然后不选。

对每一个点 $x$ 拆成 $x 1, x 2$

考虑连边 $S - > x 1 - > x 2 - > T$

割那条边表示分到哪段。

注意若原图有边 $x - > y$ ，则x选的段<=y选的段。

所以 $x 1 - > y 1, x 2 - > y 2, r = \infty$

然后就是权值有正有负，那么可以先假设选了所有的正权点，那么 $S - > x 1, x 2 - > T$ 的 $r = a [x]$

假设不选负权点， $x 1 - > x 2 ， r = - a [x]$

$Ans=∑a[x]>0a[x]−最小割Ans=\sum_{a[x]>0}a[x]-最小割$

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
#define ul unsigned long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int fi[N], nt[N], to[N], r[N], tot = 1;

void link(int x, int y, int z) {
 	nt[++ tot] = fi[x], to[tot] = y, r[tot] = z, fi[x] = tot;
 	nt[++ tot] = fi[y], to[tot] = x, r[tot] = 0, fi[y] = tot;
}

int n, m, a[51], x, y;

int S, T, co[N], d[N], cur[N], ans;

int dg(int x, int flow) {
	if(x == T) return flow;
	int use = 0;
	for(int i = cur[x]; i; cur[x] = i = nt[i])
		if(d[x] == d[to[i]] + 1 && r[i]) {
			int tmp = dg(to[i], min(flow - use, r[i]));
			r[i] -= tmp, r[i ^ 1] += tmp, use += tmp;
			if(use == flow) return use;
		}
	cur[x] = fi[x];
	if(!(-- co[d[x]])) d[S] = T;
	++ co[++ d[x]];
	return use;
}

int main() {
	freopen("san.in", "r", stdin);
	freopen("san.out", "w", stdout);
	scanf("%d %d", &n, &m);
	S = 2 * n + 1; T = S + 1;
	fo(i, 1, n) {
		scanf("%d", &a[i]);
		if(a[i] > 0) link(S, i, a[i]), link(i + n, T, a[i]), ans += a[i];
		else link(i, i + n, -a[i]);
	}
	fo(i, 1, m) scanf("%d %d", &x, &y), link(x, y, 1 << 30), link(x + n, y + n, 1 << 30);
	co[0] = T;
	while(d[S] < T) ans -= dg(S, 1 << 30);
	pp("%d", ans);
}