有上下界的网络流

不知道为什么一直不会这个东西，可能是太懒了

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无源汇上下界可行流：

我们知道最基本的网络流就是有上界的网络流，那么加了一个下界有什么不一样呢？

一个大胆的想法：
默认每条边流到了下界，然后把边的流量限制设为上限-下限，直接跑。

这显然是不对的，不然可行流不就一定存在了吗？

我们发现这样不能满足网路流的流量守恒。

如果默认每条边流到了下界，那么对于一个点来说，它就可能不满足流量守恒了。

设$q[i]$为i这个点入边下界之和-出边下界之和，$q[i]̸=0$显然是不行的

$q[i]>0$说明流出少了，我们需要分一点流。
$q[i]<0$说明流出多了，我们需要补一点流。

新建超级源$ss$和超级汇$tt$

若$q[i]>0$,$ss->ir=q[i]$
若$q[i]<0$,$i->ttr=q[i]$

对新图跑最大流，如果能把附加边跑满，即最大流$=\sum [q[i]>0]\ast q[i]$，就说明至少能在流量平衡的情况下使每条边流到下界，也就是有可行流。

有源汇上下界可行流：

连$t->sr=\infty$变成循环流

然后与上面的一样。

有源汇上下界最大流：

做完有源汇上下界可行流后，把t->s和ss、tt去掉，再从S开始跑最大流。

原图最大流等于两次最大流之和。

有源汇上下界最下流：

做完有源汇上下界可行流后，把t->s和ss、tt去掉，再从T开始跑最大流。

原图最小流等于第一次最大流-第二次最大流。

有源汇上下界最小（大）费用可行流：

边加入和流量和之前的是一样的。

费用的话：
ss、tt的边费用为0.

其它边的费用就是本来的费用。

从ss开始，跑最小费用最大流，

若有解，费用=所有边的下界*费用+跑的费用。