五边形数学习小记

学五边形数就是为了整数划分一类问题，目前并不知道有什么其它用途。

设整数划分的生成函数为$P(x)$

$P(x)=\prod_{i=1}^{∞}(\sum_{j=1}^{∞}x^{ij})$
$=\prod_{i=1}^{∞}{1 \over 1 -x^i}$

有一不是数论上那个phi的函数$\phi(x)$，函数式为：
$\phi(x)=\sum_{i=1}^∞(1-x^i)$

显然有$\phi(x)p(x)=1$

那么我们只需要求出$\phi(x)$,通过多项式求逆的算法即可求出$P(x)$

我们用一个五边形数定理就能搞定$\phi(x)$：
$\phi(x)=1+\sum_{i=1}^∞ (-1)^ix^{i*(3i±1)/2}$

证明推荐一篇博客：
《五边形数定理的一种证明》

注意到i在指数中是二次的，也就是说$[x^{1-n}]\phi(x)$只有大约$\sqrt n$个不为0。

这样的话暴力求逆回去就是$O(n\sqrt n)$的，与普通dp的复杂度一样,优势在于可以多组询问。

当然可以用NTT多项式求逆，复杂度$O(n ~log^2n)$。

裸题是hdu 4651。

没那么裸的是hdu 4658。

第二题的生成函数是：
$P(x)=\prod_{i=1}^∞{(\sum_{j=1}^{k=1} x^{ij})}$
$=\prod_{i=1}^∞{1-x^{ki}\over 1-x^i}$
$={\phi(x^k )\over \phi(x)}$

然后一次询问是$O(\sqrt n)$。

Code（T1）：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fu(a) ((a) & 1 ? -1 : 1)
using namespace std;

const int mo = 1e9 + 7;

int T, n; ll phi[100005];

int main() {
    n = 100000; phi[0] = 1;
    fo(i, 1, n) {
        fo(j, 1, i) {
            int k = j * (3 * j - 1) / 2;
            if(k <= i) phi[i] = (phi[i] - fu(j) * phi[i - k] + mo) % mo; else break;
            k = j * (3 * j + 1) / 2;
            if(k <= i) phi[i] = (phi[i] - fu(j) * phi[i - k] + mo) % mo; else break;
        }
    }
    for(scanf("%d", &T); T; T --)
        scanf("%d", &n), printf("%lld\n", phi[n]);
}

Code（T2）:

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fu(a) ((a) & 1 ? -1 : 1)
using namespace std;

const int mo = 1e9 + 7;

int T, n, k; ll p[100005], s;

int main() {
    n = 100000; p[0] = 1;
    fo(i, 1, n) {
        fo(j, 1, i) {
            int k = j * (3 * j - 1) / 2;
            if(k <= i) p[i] = (p[i] - fu(j) * p[i - k] + mo) % mo; else break;
            k = j * (3 * j + 1) / 2;
            if(k <= i) p[i] = (p[i] - fu(j) * p[i - k] + mo) % mo; else break;
        }
    }
    for(scanf("%d", &T); T; T --) {
        scanf("%d %d", &n, &k);
        s = p[n];
        fo(i, 1, n) {
            int j = i * (3 * i - 1) / 2;
            if(j * k <= n) s = (s + fu(i) * p[n - j * k] + mo) % mo; else break;
            j = i * (3 * i + 1) / 2;
            if(j * k <= n) s = (s + fu(i) * p[n - j * k] + mo) % mo; else break;
        }
        printf("%lld\n", s);
    }
}