五边形数定理的一种证明

很久以前就知道五边形数定理了……但是用它A过几道题，一直不知道怎么证明感觉很不痛快 QwQ……最近在wiki上找到一个简单优雅的证明方法……在网上并没有找到过中文的证明，所以把它粗略翻译一下，放在这里 QWQ

描述

五边形数定理是一个欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性，欧拉函数展开式如下：

$$\begin{aligned} \phi(x) &=\prod_{n=1}^{\infty}{(1-x^n)} \\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{(-1)^k x^{\frac{k(3k-1)}2}} \\\ &=1+ \sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^k x^{\frac{k(3k\pm 1)}2}} \end{aligned}$$

其中，形如 $\frac{k(3k-1)} 2$ 的数被称为（广义）五边形数

与分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，即：

$$\frac 1 {\phi(x)} = \sum_{k=0}^{\infty}{p(k)x^k}$$

其中 $p(k)$ 为 $k$ 的分割函数，即把 $k$ 写成若干个正整数的和的方案数

配合五边形数定理，我们有：

$$(1+\sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^k x^{\frac{k(3k\pm 1)}2}})(\sum_{k=0}^{\infty}{p(k)x^k}) = 1$$

考虑等式两边 $x^n$ 的系数，$n>0$ 时，等式右边 $x^n$ 系数为 $0$，考察等式左边，我们有：

$$p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\dots = 0$$

由此我们可以得到一个 $p(n)$ 的递归式，在竞赛中，我们常根据这个递归式预处理 $1$~$n$ 的 $p(n)$，时间复杂度为 $O(n\sqrt n)$

双射的证明

（我的英语非常差劲，以下的内容是我根据 wiki 的内容自己口胡的。。。

我们要证明：

$$\phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{(-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}2}}$$

考虑欧拉函数 $\phi(x) = \prod_{k=1}^{\infty} {(1-x^k)}$ 的 $x^n$ 项系数的组合意义，它等于：把 $n$ 拆成偶数个互不相同的正整数的和的方案数 - 把 $n$ 拆成奇数个互不相同的正整数的和的方案数。

举例来说，考虑 $x^5$ 的系数，我们有 2 种方法把 $5$ 拆成偶数个互不相同的正整数的和 (1+4, 2+3)，有 1 种方法把 $5$ 拆成奇数个互不相同的正整数的和 (5)，所以 $x^5$ 的系数为 $1$；
同理，$x^{12}$ 的系数为 $-1$，因为我们有 7 种方法把 $12$ 拆成偶数个（互不相同的正整数）和，但是有 8 种方法把它拆成奇数个部分的和。

对于正整数 $n$，我们尝试把它的偶数划分和奇数划分一一对应起来，考虑 $n$ 的任意一种划分的 Ferrers 图，下图展示了 $n=20$ 的一种划分：$20 = 7+6+4+3$：

0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0

1. 令 $m$ 等于Ferrers图最后一行（即最小的数对应的那一行）的元素个数，在上例中，$m=3$
2. 令 $s$ 等于Ferrers图最右边的 45度斜线 上的元素个数，这里 $s=2$

我们标记的元素展示如下图：

0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
1 1 1

考虑 $s$ 和 $m$ 的大小关系：

若 $s < m$，我们把最右45度斜线上的元素取出来，组成新的一行，新的Ferrers图对应了一种新的拆分，如下图：

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1
2 2

若 $m \leq s$（例如上图中就有 $m=2, s=5$），我们把最后一行 $m$ 个元素取出来，进行相反的过程，在前 $m$ 行末尾各添加一个元素：

0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
1 1 1

不难发现，这样的过程能够由一种 $n$ 拆分得到另一种奇偶性不同的拆分，并且对一种拆分进行两次上述过程能得到原来的拆分（即操作可逆）。这使得我们可以把一种奇拆分和偶拆分对应起来，它们对 $x^n$ 的 $+1$ 和 $-1$ 的贡献相互抵消，最终使得系数为 $0$，这个规律对每一项都适用——除了有些时候，不是所有 $n$ 的拆分都能进行上述过程，有两种情形：

<1> $m = s$ 并且45度斜线和最后一行相遇：

0 0 0 0 2
0 0 0 2
1 1 1

尝试进行上述操作，我们会得到：

0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
1

注意到这次操作没有改变拆分的奇偶性，并且它是不可逆的，令 $k = m$，我们有：

$$n = k+(k+1)+(k+2)+\dots+(2k-1) = \frac{k(3k-1)} 2$$

这一项贡献的符号与$m$的奇偶性相关，等于 $(-1)^k$

<2> $m = s+1$ 并且45度斜线和最后一行相遇：

0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2
1 1 1 2

尝试进行上述操作，我们得到：

0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1
2 2 2

这甚至不是一个合法的方案，令 $k = 1-m$，我们有：

$$n = (1-k)+(2-k)+\dots+(-2k) = \frac{k(3k-1)} 2$$

这一项贡献的符号为 $(-1)^k$

总之，我们展示了对于一般的 $n$，$n$ 拆分成奇数个不同的正整数的方案和 $n$ 拆分成偶数个不同的正整数的方案恰好能互相抵消。特别地，$n$ 若是一个广义五边形数 $g_k = \frac{k(3k-1)}2$，这种情况下 $n$ 的奇偶拆分互相抵消之后，会留下一项，符号为 $(-1)^k$，这恰好等于等式右边，证明完毕。