数学-求和符号的性质

1. 单重求和

$$\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)$$

1.1 性质1，提取公因式

若$h(y,z)$的取值和x无关，则有：
$$\sum _{i=1}^{n}h(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$$
将变量$i$写成$x_i$更形象：
$$\sum _{x_i}h(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum _{x_i}f(x_i)$$
上面有了简写，实际上$x_i\in X$，X={x1,x2,⋯ ,xn}X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}X={x1​,x2​,⋯,xn​}:
$$\sum _{x_i\in X}通常可简写为\sum _{x_i}，表示累加所有x_i可取的值$$

2. 多重求和

以两重求和为例：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}f(x_i)h(y_j)=f(x_1)\sum _{j=1}^{m}h(y_j)+f(x_2)\sum _{j=1}^{m}h(y_j)+\cdots +f(x_n)\sum _{j=1}^{m}h(y_j)=再展开就省略不写了$$

2.1 性质1，符号顺序可换

两重：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}f(x_i)h(y_j)=\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^{n}f(x_i)h(y_j)$$
注意，当某个求和的范围受另一个变量限制时，符号交换律就不适用了，如：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}f(x_i)h(y_j)\ne \sum _{j=1}^i\sum _{i=1}^{n}f(x_i)h(y_j)$$
多重：
$$\sum _{x_i}\sum _{y_j}\sum _{z_k}{f}_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum _{z_k}\sum _{y_j}\sum _{x_i}{f}_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)$$
$f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)$可看做一个函数$f(x_1,x_2,x_3)$，则得到更通用的形式：

$$\sum _{x_1}\sum _{x_2}\sum _{x_3}f(x_1,x_2,x_3)=\sum _{x_3}\sum _{x_2}\sum _{x_1}f(x_1,x_2,x_3)$$
牢记可调换的前提：x,y,z的取值范围，相互没有影响。

2.1 性质2，符号可分别求

有时候，为了求解的方便，我们并不希望函数$f(x_1,x_2,x_3)$写成一个整体，而是拆开后分别求值。
$$\sum _{x_1}\sum _{x_2}\sum _{x_3}{f}_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum _{x_i}{f}_1(x_i)\sum _{y_j}{f}_2(y_j)\sum _{z_k}{f}_3(z_k)$$
x,y,z的取值范围也要满足相互没有影响，可通过展开计算进行简单的证明。
上述性质的好处在于，可将复杂的问题分成三个部分分别计算，再求乘积。

$$(\sum _{x_i}{f}_1(x_i))(\sum _{y_j}{f}_2(y_j))(\sum _{z_k}{f}_3(z_k))$$