[原创](计算机数学)(Introduction Linear Algebra)(P88): Singular versus Invertible的另外3点说明

[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
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编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向 驱动 磁盘 文件 大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]

1. Those elimination steps are taken by an invertible $M$. So a row of $MA$ is zero.
2. If $AC=I$ had been possible, then $MAC=M$. The zero row of $MA$, times $C$, gives a zero row of $M$ itself.
3. An invertible matrix $M$ can’t have a zero row! $A$ must have $n$ pivots if $AC=I$.

For an $n\times n$ matrix $A$, if elimination yields fewer than $n$ pivots (i.e., a zero row appears), why is it then impossible to find a matrix $C$ such that
$AC=I_n$?

[核心解释]
下面我们沿用上题的例子

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$

它是 $3\times 3$ 且奇异(只有两个独立行).

---

2. 消元矩阵 $M$ 使得 $MA=U$ 且出现一零行

我们用两步基本行变换消元, 把 $A$ 化成阶梯形矩阵 $U$:

1. $R_2\leftarrow R_2-2R_1$
2. $R_3\leftarrow R_3-1R_1$

对应的消元矩阵(左乘作用于 $A$)是

$$E_1=I-2e_{21}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),E_2=I-1e_{31}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right).$$

于是

$$M=E_2{E}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right).$$

验证

$$MA=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& -2& -2\end{array}\right)=U.$$

注意:第二行变成了 $(0,0,0)$. 这说明——

**Those elimination steps are taken by an invertible $M$. So a row of $MA$ is zero. **

---

3. 若存在右逆 $C$, 则 $MAC=M$ 导出零行

假设存在矩阵 $C$ 使得

$$AC=I_3.$$

那么两边左乘上面的 $M$ 得

$$M(AC)=MI⟹(MA)C=M.$$

在左式中, $(MA)$ 的第二行已经是零行 $(0,0,0)$, 于是

$$\underset{\text{第二行 of }MA}{\underbrace{(0,0,0)}}C=\underbrace{\text{第二行 of }M}.$$

左侧零行乘以任意 $C$ 仍然是零行, 于是推出

$$\text{第二行 of }M=(0,0,0).$$

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4. 可逆矩阵 $M$ 不可能有零行

但是我们一开始就知道 $M=E_2{E}_1$ 是一系列初等矩阵的乘积, 所以必然可逆, 其每一行都不可能全为零. ——与上一步得出的“第二行全零”矛盾.

因此, 假如 $A$ 少于 $n$ 个 pivot(即消元中出现零行), 就不可能同时存在一个右逆 $C$. 换言之, 只有当 $A$ 真正具有 $n$ 个 pivots(无零行)时, 才能满足 $AC=I$.

[总结]

• 消元与零行: 若矩阵 $A$ 在高斯消元中少于 $n$ 个主元, 就必然出现一整行被化为零行；
• 消元矩阵的矛盾: 这些消元操作对应的可逆矩阵 $M$ 左乘后生成零行, 若再假设存在右逆 $C$ (即 $AC=I$), 就会推出可逆矩阵 $M$ 自身也出现零行——与可逆性的定义相悖；
• 可逆的充分必要条件: 为了避免上述矛盾, 原矩阵 $A$ 在消元过程中必须始终拥有 $n$ 个非零主元, 才能保证存在右逆 $C$ 并使 $A$ 成为可逆矩阵.

通过这一逻辑链条, 我们清晰地看到了"奇异⇔少于 $n$ 个主元"与"可逆⇔恰有 $n$ 个主元"之间的等价关系, 为矩阵可逆性的判定和理解矩阵方程解的存在性提供了坚实的理论基础.