原创(Introduction Linear Algebra)(P88): 只要A没有足够的独立行(即少于n个pivots), 高斯消元就会产生“零行“-优快云博客

[作者]
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专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]
If A doesn’t have n pivots, elimination will lead to a zero row.

[核心解释]
以下用一个简单的 $3\times3$ 的例子来说明:

考虑矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

显然, 第 2 行恰好是第 1 行的两倍, 所以 $A$ 是奇异矩阵( $\det A=0$ ), 它“少于”三个主元(pivots).

消元过程

**第 1 步: ** 以第一行的首元 $a_{11}=1$ 为主元, 用它去消掉下面两行的第一列.
- 用第 2 行减去 2 × 第 1 行:
  
  $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \quad\Longrightarrow\quad (2,4,6) - 2\,(1,2,3) = (0,0,0)$
- 用第 3 行减去 1 × 第 1 行:
  
  $R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \quad\Longrightarrow\quad (1,0,1) - (1,2,3) = (0,-2,-2)$
于是消元后得到

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$
**第 2 步: ** 在第 2 行寻找第二个主元, 但整行都是零——已经没有可用的“枢轴”了. 此时我们只能跳到第 3 行, 拿 $- 2$ 作为第二主元:

$R_3 \leftarrow (-\tfrac12)\,R_3 \quad\Longrightarrow\quad (0,1,1)$

此时行阶梯形矩阵(row echelon)是

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

注意: 最终得到的 $U$ 中, 第 3 行全是零. 我们只找到了两个主元(pivot), 而不是 $n = 3$ 个.

为什么会出现“零行”

少了一个主元 的根本原因是: 原矩阵中两行线性依赖, 第二行正好是第一行的倍数.
在高斯消元中, 每个“主元”对应原矩阵里一条独立的行(或列). 当独立的行数少于矩阵的阶数 $n$ 时, 就不可能出现 $n$ 个非零主元.
因此, 消元过程中必然会出现一整行被消成 $(0,0,\dots,0)$ , 这也正是“少于 $n$ 个 pivots” 的等价表述.

[总结]

本篇内容解释了 Gilbert Strang 在中提到的重要结论: 如果一个 $\times n$ 的矩阵 $A$ 缺少 $n$ 个主元 (即秩小于 $n$ ), 那么在高斯消元过程中必定会产生至少一行“零行”. 这从代数角度说明了矩阵的行向量之间的线性相关性, 并进一步表明该矩阵是奇异的 (singular), 无法进行逆运算. 通过具体示例演示了消元过程如何揭示矩阵的结构性缺陷, 是理解线性代数中“秩”“可逆性”与“主元”关系的基础内容.