[原创](计算机数学)(Introduction Linear Algebra)(P34): 为什么 x+2y+3z=6 是构成一个平面？

[作者]
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专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]

$$Ax=b$$

$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=6,\\ 2x+5y+2z=4,\\ 6x-3y+z=2.\end{array}$$

ROW: The row picture show three planes meeting at a single point.

[核心解释]

在三维空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中, 任意一个一次线性方程都可以被看作一个平面. 以

$$x+2y+3z=6$$

为例, 可以从以下几个角度来理解它为什么构成一个平面:

1. 方程形式与几何含义
   方程

   $$x+2y+3z=6$$

   中, $x$、$y$、$z$ 三个变量都是一次项, 没有二次或更高次项, 也没有变量之间的乘积、除法等非线性运算. 因此它描述的是一个一次线性约束条件. 几何上, 这种一次约束在 ${\mathbb{R}}^3$ 中对应一个二维子空间的平移(也就是一个平面), 而不再是直线或者点. 例如, 如果将 $x$ 和 $y$ 看作自由变量, 则可得

   $$z=\frac{6-x-2y}{3}$$

   显然 $z$ 关于 $x$、$y$ 是一个一次函数, 这在三维空间里对应一个平面上的所有点集合.

2. 法向量与平面方程
   对于形如

   $$ax+by+cz=d$$

   的一次线性方程, 其中 $(a,b,c)$ 即为该平面的法向量. 因为任何位于平面上的点 $(x,y,z)$ 与法向量 $(a,b,c)$ 的点积都恒等于常数 $d$. 当我们把 $a=1$、$b=2$、$c=3$、$d=6$ 带入时, 就得到

   $$(1,2,3)\cdot (x,y,z)=6$$

   这说明对于所有满足

   $$x+2y+3z=6$$

   的点 $(x,y,z)$, 它们与向量 $(1,2,3)$ 的点积恒定. 换句话说, $(1,2,3)$ 是该平面的正交方向, 平面上任意两个不同的点所组成的向量都与 $(1,2,3)$ 垂直. 由此可以直观看出, 满足

   $$x+2y+3z=6$$

   的点在 ${\mathbb{R}}^3$ 中仅仅是一个正交于 $(1,2,3)$ 的二维“切片”, 也就是一个几何意义上的平面.

3. 三个平面相交的行图视角
   当将三条方程

   $$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=6,\\ 2x+5y+2z=4,\\ 6x-3y+z=2\end{array}$$

   看作三张平面, 它们在 ${\mathbb{R}}^3$ 中各自形成不同的平面. ROW 图(行图)展示的就是每一个方程对应一张平面, 通过这三张平面相交, 就能找到三元一次方程组的解. 如果这三张平面相交于一个公共的单一点, 则表明方程组有唯一解; 如果三张平面两两平行但没有公共交点, 则无解; 如果其中两张平面重合, 则可能有无穷多解. 在这里, $x+2y+3z=6$ 单独看是一个平面, 当与另外两个平面一起考虑时, 它们三者会在某一点处相交, 构成该系统的行图.

4. 变量取值自由度与维度解释
   在三维空间中, 每引入一个一次线性约束, 都会降低一个自由度. 如果没有任何约束, $(x,y,z)$ 有三个自由度, 对应整个 ${\mathbb{R}}^3$; 加入

   $$x+2y+3z=6$$

   这一约束后, 自由度减少为 2, 对应一个二维平面; 再加入第二个线性约束

   $$2x+5y+2z=4$$

   后, 自由度减少至 1, 对应一条直线; 最后再加上

   $$6x-3y+z=2$$

   后, 若三约束互相独立, 自由度为 0, 对应三张平面相交的单一点解.

综上所述, $x+2y+3z=6$ 之所以是一个平面, 正是因为它是一个仅含一次项的线性方程, 在三维空间里对 $(x,y,z)$ 施加了一条线性约束, 把 ${\mathbb{R}}^3$ 切割成一个二维子集. 同时, 该方程所对应的法向量 $(1,2,3)$ 也直接说明了平面的方向, 从而完整地刻画了这个几何对象.

[总结]

通过对

$$x+2y+3z=6$$

方程的分析, 我们认识到任何形如

$$ax+by+cz=d$$

的一次线性方程在三维空间中都对应一张平面. 具体来说, 方程中的系数 $(a,b,c)$ 定义了该平面的法向量, 而等号右侧的常数 $d$ 决定了平面到原点的距离(根据规范化后法向量的长度). 因此, $x+2y+3z=6$ 中的 $(1,2,3)$ 是平面的法向量, 它将所有满足该方程的 $(x,y,z)$ 点限制在一个与 $(1,2,3)$ 垂直的二维子空间上. 结合行图(ROW)视角, 三张平面所对应的三元一次方程组在三张平面的交点处取得唯一解. 总体而言, 一次线性方程从代数角度限制变量的自由度, 从几何角度刻画对应的平面; 而多个这样的方程相互组合则描绘了它们相交、重合或平行的几何关系.