[原创](计算机数学)(Introduction Linear Algebra)(P25): 为什么Cyclic Differences无法构成三维空间？

原创已于 2025-05-24 16:12:01 修改 · 975 阅读

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#线性代数 #循环差分

于 2025-05-24 15:53:04 首次发布

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[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
企鹅交流: 643439947
个人网站: 80x86汇编小站
编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向驱动磁盘文件大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]
考虑方程
$\begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ x_2 - x_1 \\ x_3 - x_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

记映射矩阵为

$C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

则相当于

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

注意到左侧三分量之和为

$x_1 - x_3) + (x_2 - x_1) + (x_3 - x_1) = 0,$

而右侧三分量之和为 $1 + 3 + 5 = 9$ , 二者不相等, 因此不存在满足 $x_1, x_2, x_3$ 的解.

[[分析角度: Independence and Dependence]
要判断 Cyclic Differences 是否能张成整个三维空间, 我们需要考察对应映射矩阵的列向量(或行向量)在 $\mathbb{R}^3$ 中的线性独立性.具体地, 矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

的三列向量分别为

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

若 ${v_1, v_2, v_3\}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中线性无关, 则其张成空间维数为 3；否则, 维数小于 3.

观察到

$v_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + v_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + v_3 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

说明 $v_1, v_2, v_3$ 存在线性相关关系, 例如

$v_3 = -\bigl(v_1 + v_2\bigr).$

因此, 向量集 ${v_1, v_2, v_3\}$ 最多只能张成一个二维子空间, 而无法张成整个 $\mathbb{R}^3$ .

[核心解释]
对于任意向量 $\,x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ , 矩阵 $C$ 的线性映射给出

$\cdot \begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ x_2 - x_1 \\ x_3 - x_1 \end{pmatrix}$

直接计算可知, 映射结果的三个分量之和恒等于零：

$x_1 - x_3) + (x_2 - x_1) + (x_3 - x_1) = 0$

这意味着 $\mathrm{Im}(C)\subseteq \{\,b \in \mathbb{R}^3 \mid b_1 + b_2 + b_3 = 0\}$ , 即像空间为满足 $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ 的二维子空间.

若给定的右侧向量

$\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}$

不满足线性约束 $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ , 则必定无法写成 $C\,x$ 的形式, 从而方程组

$\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\quad b_1 + b_2 + b_3 \neq 0$

无解.上述示例中 $(1,3,5)^\mathsf{T}$ 时, 有

$\neq 0,$

故不存在满足该映射的 $x_1,x_2,x_3)$ .

从矩阵秩的角度来看,

$\operatorname{rank}(C) = 2,\quad \text{列数} = 3,$

所以其零空间(Null space)维度为 $3 - 2 = 1$ .秩不足 3 意味着 $C$ 只能将 $\mathbb{R}^3$ 映射到一个维度为 2 的子空间, 而非全空间.

[总结]
通过对映射矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

的列向量线性相关性分析, 可以看出 Cyclic Differences 所张成的像空间维数仅为 2, 而非 3.当右侧向量不满足 $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ 这一必要条件时, 方程组 $C\,x = b$ 必不成立.此结论从向量线性相关、空间维度及矩阵秩等多种角度, 统一揭示了 Cyclic Differences 无法构成三维空间的本质原因.