WikiOI 1217 借教室 (线段树lazy标记)(95分)

本文探讨了2012年NOIP全国联赛提高组中的一道经典算法题——借教室问题。该问题要求处理一系列租借请求,并采用线段树实现高效的资源分配算法。文章详细介绍了问题背景、算法原理及其实现细节。

1217 借教室 2012年NOIP全国联赛提高组
时间限制: 1 s
空间限制: 128000 KB
题目等级 : 钻石 Diamond
题解
题目描述 Description
在大学期间,经常需要租借教室。大到院系举办活动,小到学习小组自习讨论,都需要

向学校申请借教室。教室的大小功能不同,借教室人的身份不同,借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息,我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来n天的借教室信息,其中第i天学校有ri个教室可供租借。共有m份

订单,每份订单用三个正整数描述,分别为dj, sj, tj,表示某租借者需要从第sj天到第tj天租

借教室(包括第sj天和第tj天),每天需要租借dj个教室。

我们假定,租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单,我们只需要每天提

供dj个教室,而它们具体是哪些教室,每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得,也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教

室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足,则需要停止教室的分配,通知当前申

请人修改订单。这里的无法满足指从第sj天到第tj天中有至少一天剩余的教室数量不足dj个。

现在我们需要知道,是否会有订单无法完全满足。如果有,需要通知哪一个申请人修改

订单。

输入描述 Input Description
第一行包含两个正整数n, m,表示天数和订单的数量。

提高组 day2

第二行包含n个正整数,其中第i个数为ri,表示第i天可用于租借的教室数量。

接下来有m行,每行包含三个正整数dj, sj, tj,表示租借的数量,租借开始、结束分别在

第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从1开始的整数编号。

输出描述 Output Description
如果所有订单均可满足,则输出只有一行,包含一个整数 0。否则(订单无法完全满足)

输出两行,第一行输出一个负整数-1,第二行输出需要修改订单的申请人编号。

样例输入 Sample Input
4 3

2 5 4 3

2 1 3

3 2 4

4 2 4

样例输出 Sample Output
-1

2

数据范围及提示 Data Size & Hint
【输入输出样例说明】

classroom.out

-1

2

第 1 份订单满足后,4 天剩余的教室数分别为 0,3,2,3。第 2 份订单要求第 2 天到

第 4 天每天提供 3 个教室,而第 3 天剩余的教室数为 2,因此无法满足。分配停止,通知第

2 个申请人修改订单。

【数据范围】

对于 10%的数据,有1 ≤ n, m ≤ 10;

对于 30%的数据,有1 ≤ n, m ≤ 1000;

对于 70%的数据,有1 ≤ n, m ≤ 105;

对于 100%的数据,有1 ≤ n, m ≤ 10^6, 0 ≤ ri, dj≤ 10^9, 1 ≤ sj≤ tj≤ n。

其实我已经写过这道题的二分写法了,但是我第一眼看这道题觉得这是个线段树,可惜当时没有一次性写出来。 现在写出来了但是被卡了一个点,有一个点超时只有95分,老师说这一题用线段树只能写到95了,于是把这种做法也发一下

program mys;

type
ab=record
l,r,w,c:longint;
end;

var i,j,k,m,n,t,b,c,tot,p,s:longint;
f:array[0..2000000]of ab;
a:array[0..1000100]of longint;

procedure built(x,y,i:longint);
var mid:longint;
begin
f[i].l:=x;
f[i].r:=y;
if (x=y) then
begin
f[i].w:=a[x];
exit;
end;
mid:=(x+y)div 2;
built(x,mid,i*2);
built(mid+1,y,i*2+1);
if f[i*2].w<=f[i*2+1].w then
f[i].w:=f[i*2].w
else
f[i].w:=f[i*2+1].w;
end;

procedure change(x,y,k:longint);
var mid:longint;
begin 
if (f[k].l=x)and(f[k].r=y) then 
begin 
if f[k].c<>0 then 
begin 
f[k*2].w:=f[k*2].w-f[k].c;
f[k*2].c:=f[k*2].c+f[k].c;
f[k*2+1].w:=f[k*2+1].w-f[k].c;
f[k*2+1].c:=f[k*2+1].c+f[k].c;
f[k].c:=0;
end;
f[k].w:=f[k].w-p;
if f[k].w<0 then 
begin 
writeln(-1);
writeln(i);
halt;
end;
f[k].c:=f[k].c+p;
exit;
end;
if f[k].c<>0 then 
begin 
f[k*2].w:=f[k*2].w-f[k].c;
f[k*2].c:=f[k*2].c+f[k].c;
f[k*2+1].w:=f[k*2+1].w-f[k].c;
f[k*2+1].c:=f[k*2+1].c+f[k].c;
f[k].c:=0;
end;
mid:=(f[k].l+f[k].r)div 2;
if y<=mid then change(x,y,k*2)
else if x>mid then change(x,y,k*2+1)
else 
begin 
change(x,mid,k*2);
change(mid+1,y,k*2+1);
end;
if f[k*2].w<=f[k*2+1].w then
f[k].w:=f[k*2].w
else
f[k].w:=f[k*2+1].w;
end;

begin 
readln(n,m);
for i:=1 to n do 
read(a[i]);
built(1,n,1);
for i:=1 to m do 
begin 
readln(p,s,t);
change(s,t,1);
end;
writeln(0);
end.
### 线段树懒加载(Lazy Propagation)实现 线段树是一种高效的数据结构,常用于解决区间查询和修改问题。为了优化性能,在涉及大量连续区间的更新操作时,通常会引入懒惰传播机制(Lazy Propagation)。这种技术通过延迟更新的方式减少了不必要的递归调用。 以下是基于 C++ 的线段树懒加载标记的代码模板: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; long long tree[4 * MAXN], lazy[4 * MAXN]; // 定义线段树数组和懒加载数组 int n; // 数组长度 // 建立初始线段树 void build(int node, int start, int end) { if (start == end) { // 如果到达叶子节点 tree[node] = 0; // 初始化为默认值 return; } int mid = (start + end) / 2; build(2 * node, start, mid); // 构建左子树 build(2 * node + 1, mid + 1, end); // 构建右子树 tree[node] = tree[2 * node] + tree[2 * node + 1]; // 合并左右子树的结果 } // 下推懒加载标记至子节点 void push_down(int node, int start, int end) { if (lazy[node]) { int mid = (start + end) / 2; lazy[2 * node] += lazy[node]; lazy[2 * node + 1] += lazy[node]; tree[2 * node] += (mid - start + 1) * lazy[node]; // 更新左子树 tree[2 * node + 1] += (end - mid) * lazy[node]; // 更新右子树 lazy[node] = 0; // 清除当前节点的懒标记 } } // 区间更新 [l, r] 加上 val void update_range(int node, int start, int end, int l, int r, long long val) { if (r < start || end < l) { // 当前区间完全不在目标范围内 return; } if (l <= start && end <= r) { // 当前线段被完全覆盖 tree[node] += (end - start + 1) * val; // 更新当前节点 lazy[node] += val; // 设置懒标记 return; } push_down(node, start, end); // 将懒标记传递给子节点 int mid = (start + end) / 2; update_range(2 * node, start, mid, l, r, val); // 更新左子树 update_range(2 * node + 1, mid + 1, end, l, r, val); // 更新右子树 tree[node] = tree[2 * node] + tree[2 * node + 1]; // 合并左右子树结果 } // 查询区间 [l, r] 的总和 long long query_sum(int node, int start, int end, int l, int r) { if (r < start || end < l) { // 当前区间完全不在目标范围内 return 0; } if (l <= start && end <= r) { // 当前线段被完全覆盖 return tree[node]; } push_down(node, start, end); // 将懒标记传递给子节点 int mid = (start + end) / 2; long long p1 = query_sum(2 * node, start, mid, l, r); // 左子树查询 long long p2 = query_sum(2 * node + 1, mid + 1, end, l, r); // 右子树查询 return p1 + p2; // 返回两部之和 } ``` #### 关键点解析 - **`tree[]` 和 `lazy[]`** 是两个核心数组,别表示线段树中的实际值以及懒标记。 - **`push_down()` 函数** 负责将父节点上的懒标记传递到其子节点,并清除自身的懒标记[^3]。 - **`update_range()` 函数** 实现了对指定范围内的所有元素加上某个固定值的功能,同时利用懒标记来减少冗余计算。 - **`query_sum()` 函数** 则实现了快速求解某一段区间的累加和功能。 上述代码展示了如何构建一棵支持懒加载的线段树,并提供了区间更新与查询的能力。 ---
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