二分图匹配相关性质(知识点整理)

思路来源

http://www.matrix67.com/blog/archives/116

https://blog.youkuaiyun.com/ACMer_ZP/article/details/78570926

https://blog.youkuaiyun.com/huangshuai147/article/details/51087275

https://www.cnblogs.com/icode-girl/p/5418461.html

心得

有些东西真是学了又学学了又忘忘了又学

依稀记得自己去年就在学这个

最小点覆盖 最小边覆盖 最大匹配 最小路径覆盖 最大独立集

以下除最小路径覆盖指DAG外，其余皆为二分图

结论

1.最小点覆盖=最大匹配 

2.最大独立集=总点数-最大匹配

3.最小边覆盖=总点数-最大匹配

4.DAG不相交最小路径覆盖=DAG顶点数-对应二分图最大匹配

5.无向图最大匹配=最大匹配/2

输出最小点覆盖方案：https://blog.youkuaiyun.com/Code92007/article/details/83688492

输出最大独立集方案：https://blog.youkuaiyun.com/Code92007/article/details/98205680

证明

1.最小点覆盖

用最少的点，覆盖所有的边，全为孤立顶点(没边)输出0

证明：Konig定理

http://www.matrix67.com/blog/archives/116

 

2.最大独立集

选中最多的点，使得两两之间都没有边，

联合结论1，即证最大独立集=总点数-最小点覆盖

设最小点覆盖点集为S，S的大小为n，全集为U，

记没有在S中的点构成的集合为T(即U-S)

①若T内存在两点之间有边E，则E没有被S内的点覆盖，矛盾，故T内两两之间没有边

①说明，T是一个合法解，所以答案不小于T，ans>=|T|

②若T还可扩充，则必至少选一点v，v属于S，且v与T内所有点之间都没有边

这说明，与v相连的所有边，另一端的顶点都是集合S-v里的点，

同样表明，与v相连的所有边，被S-v的点覆盖了，因此，在最小点覆盖中，v多余，

这说明，S-v构成一个新的最小点覆盖，与S是最小点覆盖，矛盾

②说明，T不可扩充，所以答案不大于T，ans<=|T|

①②表明，ans=|T|

 

3.最小边覆盖

用最少的边，覆盖所有的点，有孤立顶点时不存在

证明：

由于最大匹配边能覆盖两个点，而非匹配边只能覆盖一个点，所以优先用最大匹配里的边

设点数为n，最大匹配为m，则m条边覆盖2*m个点，

其余n-2*m个点只能由n-2*m条非匹配边覆盖，

故共计n-m条边，为点数-最大匹配

 

4.DAG不相交最小路径覆盖

用若干条不相交(不共点不共边)的路径，覆盖所有的点

图片来源：https://www.cnblogs.com/icode-girl/p/5418461.html

左边DAG图，一个点拆成出点和入点两个点，二分图左侧为出点，右侧为入点

原图中1到3的连边，对应二分图中出点1到入点3的连边，

设DAG中顶点数为n，最大匹配数为m，且认为最大匹配的边有方向，从左指向右，

那么最大匹配上左边的点，因为有后继，所以不可能成为一条路径中的终点，

而其他的点，因为没有后继，所以只能成为出度为0的点，即终点，

终点的个数，即为路径的条数，所以，左侧剩下了n-m个点，也就对应了n-m条路径

 

5.无向图最大匹配=最大匹配数/2

无向图因为左侧连向右侧有边，右侧连向左侧也有边

所以不论左侧右侧，统统求一遍最大匹配，

最大匹配边，左边被计一次右边被计一次，故除以2