(转载)约瑟夫环整理笔记

假设编号依次是 0，1，2，...，n-1 的n个人围成一个环，从编号是0的人开始依次报数，

从1报到m且报m的人从环里退出，后面的人重新从1开始报数，

直到剩下一个人为止，问环里最后剩下的那个人的编号是多少？

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显而易见：
n＞1时才涉及到报数退出，n=1时最后那个人的编号就是0；
第一个退出的人的编号注定是 (m-1)%n；

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现在假设 n=10，m=3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

第一个人出列后，环的序列为：

0 1 (*) 3 4 5 6 7 8 9

换个角度从编号3开始看这个环的序列，即：

3 4 5 6 7 8 9 0 1 (*)

我们可以使用规则（(**)+m）%n = (*) 把该序列映射为(当然实际上是尝试映射的过程中找到的规则)：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (**)
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令f[n]表示n个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，得到递推公式：
f[n]=0; (n=1)
f[n]=(f[n-1]+m)%n; (n>1)

有了这个公式，我们可以从1到n顺序计算出最后结果f[n]。

 

即，f[n-1]轮赢的不管是谁，其在f[n]里的标号都是(f[n-1]+m)%n，

又因为f[0]的标号就是最终的胜者，所以f[n]的标号就是最终的胜者