AtCoder Beginner Contest 191 F - GCD or MIN(思维题/gcd)

最新推荐文章于 2025-01-09 18:38:39 发布

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本文探讨了如何通过合并n个数，最大化剩余值的 gcd 或 min 值。关键思路是选择符合条件的倍数，确保 gcd 不变。提供了详细题解、算法步骤和C++代码实现，适合理解数论和算法优化。

题目

n(n<=2e3)个数，第i个数ai(1<=ai<=1e9)，每次你可以选两个不同的数x,y

并把它们合并为gcd(x,y)或者min(x,y)，问最后剩下的值有哪些可能

思路来源

官方题解

题解

注意到gcd(x,y)<=min(x,y)，所以最后的值只可能在[1,min(a1,..,an)]里，

考虑这里面的每个值v，n个值里v的倍数的值就直接取gcd，这样显然是最优的，

若干个数k1*v，k2*v，...，ki*v，ki越多，gcd(k1,...ki)越可能为1，

首先，只能选择v的倍数，否则gcd一定不为v；那如果某个子序列的gcd为v，选上其他的v的倍数，gcd仍为v

写法随意，为了卡常写的比较阴间，其实可以考虑1e7以下用数组，1e7以上用map，能卡的更短

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10,M=2e6+10;
int n,a[N],mn,ans[M],c,res;
bool vis[M];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=sqrt(a[i]);++j){
			if(a[i]%j==0){
				if(!vis[j])ans[++c]=j,vis[j]=1;
				if((a[i]/j)!=j){
					if((a[i]/j)>=M)ans[++c]=a[i]/j;
					else if(!vis[a[i]/j])ans[++c]=a[i]/j,vis[a[i]/j]=1;
				}
			} 
		}
	}
	sort(ans+1,ans+c+1);
	c=unique(ans+1,ans+c+1)-(ans+1);
	for(int i=1;i<=c;++i){
		if(ans[i]>=a[1])break;
		int x=0;
		for(int j=1;j<=n;++j){
			if(a[j]%ans[i]==0){
				x=(!x)?a[j]:__gcd(x,a[j]);
			}
		}
		res+=(x==ans[i]);
	}
	printf("%d\n",res+1);
	return 0;
}