uva10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)(置换群/polya定理)

最新推荐文章于 2021-02-10 17:28:37 发布

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#置换群 #polya定理 #burnside定理

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本文探讨了由多种颜色珠子构成的环形串（项链和手镯）的组合计数问题，通过Polya定理解析旋转和翻转对方案数的影响，并提供了具体的算法实现。

题目

n(n<=50)个珠子的环形串，由t(t<=10)种颜色构成

环形串分为项链和手镯两种，

项链把旋转相同的看成是同一种方案，

手镯把旋转相同或翻转相同的看成是同一种方案，

求项链的方案数，手镯的方案数

思路来源

指南P147页

题解

根据polya定理，方案数=置换方案数总和/置换数

旋转i(0<=i<=n-1)颗珠子，从0出发，走到i，2i，…，再回到0时，

总圈数为lcm(i,n)，步长为i，则有lcm(i,n)/i=n/gcd(i,n)步

由对称性，有gcd(i,n)个循环，则旋转i颗珠子的方案为 $t^{gcd(i,n)}$

翻转分奇偶，奇数一定过顶点，偶数分过顶点和对称轴

可以举三角形和正方形为例求方案数，

仅考虑每个置换内部的循环个数，不用考虑循环节的大小

旋转这个可以枚举gcd化简一下式子降到根号n，

用欧拉函数求，但这题数据范围太弱了没必要

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
int n,t;
ll f[N],cyc,rev;//t的阶乘,旋转,翻转
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&t) && n){
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            f[i]=f[i-1]*t;
        }
        cyc=rev=0;
        for(int i=0;i<n;++i){
            cyc+=f[gcd(i,n)];//旋转
        }
        if(n&1)rev=n*f[(n+1)/2];//翻转奇数
        else rev=n/2*(f[n/2+1]+f[n/2]);//翻转偶数
        printf("%lld %lld\n",cyc/n,(cyc+rev)/2/n);//所有置换方案的平均数
    }
    return 0;
}