点菜问题（北京大学复试上机题）（0-1背包问题）

点菜问题（北京大学复试上机题）（0-1背包问题）

题目描述：

北大网络实验室经常有活动需要叫外卖，但是每次叫外卖的报销经费的总额最大为C元，有N种菜可以点，经过长时间的点菜，网络实验室对于每种菜 i 都有一个量化的评价分数（表示这个菜可口程度），为Vi，每种菜的价格为Pi, 问如何选择各种菜，使得在报销额度范围内能使点到的菜的总评价分数最大。
注意：由于需要营养多样化，每种菜只能点一次。

输入格式：

输入的第一行有两个整数C和N，C代表总共能够报销的额度，N代表能点菜的数目。
接下来的N行每行包括两个整数Pi和Vi，分别表示第 i 道菜的价格和评价分数。

输出格式：

输出共一行，一个整数，表示在报销额度范围内，所点的菜能够得到的最大评价分数。

数据范围：

1≤C≤1000,
1≤N≤100,
1≤Pi,Vi≤100

输入样例：	输出样例：
90 4 20 25 30 20 40 50 10 18	95

题解（以本题内容作答，和0-1背包问题思路完全一致）

一、二维解法

解题思路：

• 状态定义：dp(i,j)表示前 i 道菜品，在报销额度为 j 的情况下的最大总评价分数。
• 分支情况（状态转移方程）：对于前 i 道菜品的总评价分数dp(i,j)：
  • 不选择第 i 道菜品，那么dp(i,j) = dp(i - 1, j)，即和前i - 1道菜的总评价分数一致；
  • 选择第 i 道菜品，那么dp(i,j) = dp(i - 1, j - Pi) + Vi，即为前 i - 1道菜品在报销额度为j - Pi的最大总评价分数与第 i 道菜品的评价分数之和。
• 那么什么时候加入第 i 道菜，什么时候不加入第 i 道菜呢？（第 i 道菜的价格记录在price[i - 1]，评价分数记录在score[i - 1]，报销额度是 j）
  • 第一种情况是，当我们第 i 道菜的价格大于报销额度 j 时（即price[i - 1] > j），显而易见，不能加入。
  • 第二种情况是，第 i 道菜的价格小于报销额度（即price[i - 1] < j）时,若加入第 i 道菜后，前 i 道菜的总评价分数大于不加入第 i 道菜时前 i 道菜的总评价分数， 即dp[i - 1, j] < dp[i - 1, j - price[i - 1]] + score[i - 1]时，选择加入。
• 综上所述，便有核心代码：

if (price[i - 1] > j)
	dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
	dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - price[i - 1]] + score[i - 1]);

AC代码：

#include <iostream>