[快速幂]a^b

问题 A: 【快速幂】a^b
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题目描述
求 a 的 b 次方对 p 取模的值,其中 1≤a,b,p≤109

输入
三个用空格隔开的整数a,b和p。

输出
一个整数,表示ab mod p的值。

样例输入
2 3 9

样例输出
8

快速幂模板,代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long

using namespace std ;

ll quick_pow( ll a , ll b , ll p ){
    ll ans = 1 % p , base = a ;
    while ( b ){
        if ( b & 1 ){
            ans = (ans % p * base % p) % p ;
        }
        base = base * base % p ;
        b >>= 1 ;
    }
    return ans ;
}

int main(){
    ll a , b , p ;
    while ( scanf("%lld %lld %lld" , &a , &b , &p) != EOF ){
        printf("%lld\n" , quick_pow(a , b , p)) ;
    }
    return 0 ;
}

 

### 快速幂算法的实现与解释 快速幂是一种高效的算法,用于计算大指数下的幂运算 \( a^b \% c \),其中 \( a \) 是底数,\( b \) 是指数,而 \( c \) 则是用来取模的数值。这种算法能够显著降低传统方法所需的大量重复乘法操作带来的高时间复杂度。 #### 原理说明 对于任意两个整数 \( a \) 和 \( b \),以及一个正整数 \( p \),存在如下性质: \[ (a * b) \% p = ((a \% p) * (b \% p)) \% p \] 这一特性允许我们将原本复杂的乘法转换成更简单的形式来进行处理[^3]。当应用于快速幂时,则意味着可以在每一步都对当前的结果进行取模操作,从而防止溢出并保持较小的数据范围。 #### 算法流程 通过二进制拆分的方式将指数分解为若干个2的幂之和的形式,进而利用平方倍增的思想逐步累乘得到最终结果。具体来说就是如果遇到奇数次方就额外多一次单独相乘的操作;如果是偶数则只需要不断自乘即可完成整个过程。 以下是Python语言中的快速幂函数实现方式: ```python def fast_pow_mod(a, b, m): res = 1 while b > 0: if b & 1: # 当前位是否为1 res = (res * a) % m a = (a * a) % m b >>= 1 # 右移一位相当于除以2 return res ``` 此代码片段展示了如何有效地执行带有取余操作的大规模幂运算,在实际编程竞赛或者工程实践中非常有用。 #### 应用场景 除了基本的数学计算外,快速幂还广泛应用于密码学领域内的公钥加密体制中,比如RSA算法就需要频繁地做类似的幂模运算来保障信息安全传输。
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