概率dp

概率dp的内容

概率dp 研究有关于概率，步数，期望的等问题。

• 数学期望 P=Σ每一种状态*对应的概率。
• 因为不可能枚举完所有的状态，有时也不可能枚举完，比如抛硬币，有可能一直是正面，etc。 但是现在发现大多数题就是手动找公式或者DP推出即可，只要处理好边界，然后写好方程，代码超级简短。与常规的求解不同，数学期望经常逆向推出。

• 比如常规的dp[x]可能表示到了x这一状态有多少，最后答案是dp[n]。而数学期望的dp[x]一般表示到了x这一状态还差多少，最后答案是dp[0]。
• 什么时候可以互相计算呢？关键在于所求期望的变量值是否会随着过程变化而变化！！！而不仅仅和所处位置有关！！！这种情况下，我们可以记录到当前状态所需的步数，最后就可以算期望。

例题：

 1.甩一个n面的骰子，问每一面都被甩到的次数期望是多少。

SPOJ Favorite Dice（数学期望）

顺推:第一次选一张即可达到目的，然后剩下n-1张，从n张中选择n-1张有用的中的一张，概率是(n-1)/n，故平均每一次期望是n/(n-1)，后推求和即可。(平均期望该情况下好算，因此可以顺推)。

逆推:已知dp[n]表示所在第n个需要到第n个的期望步数，则dp[n]=0;已知dp[i+1]，求dp[i]的解释：,表示：当前第i个到第n个的期望等于，当前期望有i/n的概率在自身，有(n-i)/i的概率到dp[i+1].

 

2.有n个妖怪，每个妖怪有一个固定的战斗力c，师傅也有一个初始战斗力f0。每天，师傅会随机选择一个妖怪决斗，如果打得赢ft>c，就可以逃出去,逃出去要t[]天，毕竟超人不会飞；
否则，师傅会不甘心，当天他会拿出秘籍练功，将自己变强,f(t+1)=f(t)+c[]，第二天寻找下一次机会。
问师傅能够逃脱可怕的妖怪，继续追求去印度吃手抓饼的梦想的天数的数学期望day。

ZOJ - 3640 

顺推：概率dp，将当前的战斗力看成dp[x],每次变成下一个战斗力的转移为dp[i+c]=dp[i+c]+dp[i]*(i->i+c的概率),则出去的天数的期望为转移到状态*天数，由于有无线个，故无法计算。(概率好求，期望难算)

逆推：用dp[i]表示战斗力为i时出去的期望。最后的结果是成功逃离，因此每种怪都能顺利逃离，故当前打这种怪能逃离的期望天数是，所以如果i>c[j] dp[i]+=(int)(p*c[j]*c[j])/n;，如果i<=c[j] dp[i]+=(dfs(i+c[j])+1)/n;反向打表也即是采用dfs的方式处理，代码如下：

int n,f;
const double p=(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
double dp[maxn];
int c[maxm],t[maxm];

double dfs(int x)
{
    if(dp[x]>0)return dp[x];

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(x>c[i])dp[x]=dp[x]+(double)t[i]/n;
        else dp[x]=dp[x]+(dfs(x+c[i])+1.0)/n;
    }
    return dp[x];
}

int main()
{
    while(cin>>n>>f)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&c[i]);
            t[i]=p*c[i]*c[i];
        }
        double ans=dfs(f);
        printf("%.3f\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

3.循环型期望dp

 

样例与代码：

1.树形(DAG)：

其中p1+p2+p3=1;

struct edge
{
    int to;
    double p;
    double a;//转移花费,步数等于1
};
vector<edge> vec[maxn];

double e[maxn];
double getE(int rt,int fa)
{
    if(e[rt]>0)return e[rt];
    int s=vec[rt].size();
    for(int i=0;i<s;i++)
    {
        edge v=vec[rt][i];
        if(v.to==fa)continue;
        e[rt]=e[rt]+(getE(v.to,rt)+v.a)*v.p;
    }
    return e[rt];
}