数论 学习笔记

一、整除 约数 倍数

a|b表示b除以a余0，也就是a能整除b。称a是b的约数，b是a的倍数。
若a|b, a|c, 则a|(b+c)
若a|b, 那么对所有整数c, a|bc
若a|b, b|c, 则a|c

二、素数 合数

约数只有1和本身的数是素数，除此以外还有其他约数的数是合数。1既不是素数也不是合数。

三、算数基本定理

每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积。即有唯一的分解质因数方案：

$$x={a_1}^{p_1}{a_2}^{p_2}…{a_n}^{p_n}$$
其中x的约数个数可以表示为：
$$(p_1+1) (p_2+1) …(p_n+1)$$
求N的约数个数是$O(\sqrt N)$的
想一想为什么？

四、最大公约数gcd( )和最小公倍数lcm[ ]

若

$$x={a_1}^{p_1}{a_2}^{p_2}…{a_n}^{p_n}$$
$$y={a_1}^{q_1}{a_2}^{q_2}…{a_n}^{q_n}$$
则
$$gcd(a,b)={a_1}^{min(p_1,q_1)}a_2^{min(p_2,q_2)}…{a_n}^{min(p_n,q_n)}$$
$$lcm(a,b)={a_1}^{max(p_1,q_1)}{a_2}^{max(p_2,q_2)}…{a_n}^{max(p_n,q_n)}$$
且
$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$
$gcd(a,b)=gcd(a\%b,a)$
$lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)$
想一想为什么？
有时简化书写将gcd(a,b)记为(a,b),lcm(a,b)为[a,b]

五、欧几里德算法（辗转相除）

原理：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
递归下去，直到b=0，此时a就是最大公约数
代码：

int gcd(int a,int b){
    if (b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

int gcd(int x,int y){
     int r=y%x;
     while (r!=0){
         y=x;
         x=r;
         r=y%x;
      }
      return x;
}

六、$\sum$和$\prod$

$\sum$连加

$$\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+…+a_n$$
$\prod$连乘 $$\prod_{i=1}^na_i=a_1*a_2*…*a_n$$
都满足交换律和分配律

七、其他符号约定&&高斯函数

[条件]=0(如果条件为假)或1(如果条件为真)
逻辑短路：

$$[n\ne2][{1 \over {n-2}}=1]$$ 当n=2时值为0（第一个式子不满足直接判为0，不用考虑第二个式子是否有意义）
高斯函数：
$[x]$或$\lceil x\rceil$表示不超过x的最大的整数（向上取整）
$\lfloor x\rfloor$表示不小于x的最小的整数（向下取整）
特别注意：计算机中的取整为向0取整！

八、欧拉函数

$\phi(n)$表示小于n的数中中与n互质的数的个数，特殊地，$\phi(1)=1$
性质：
(1)

$$\phi(p)=p-1（p为质数）$$
证明：p的约数只有1和p，显然成立
(2) $$\phi(p^k)=(p-1)p^{k-1}（p为质数）$$
证明：$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$
即$1…p^k$中只有${{p^k}\over p}=p^{k-1}$个数和$p^k$不互质，其余的数都和$p^k$互质
那么我们可以将这个式子推广一下，即
$$\phi(n)=\prod_i p_i^{k_i-1}(p_i-1)，n=\prod_i p_i^{k_i}$$
可以发现每一个$p_i^{k_i}$都是互质的，那么利用$\phi$是积性函数和自然数的唯一分解定理可以证明。
(3) $$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b),(a,b)=1$$ 说明$\phi$是一个不完全积性函数。
给出证明：

(4) $$n=\sum\limits_{d|n} \phi(d)$$ 不要问我证明。
(5) $$\phi(n)=n(1-{1\over p_1})(1-{1\over p_2})……(1-{1\over p_m})$$
用于$\sqrt n$求$\phi$
证明：
我们已经知道$\phi(n)=\prod_i p_i^{k_i-1}(p_i-1)，n=\prod_i p_i^{k_i}$，经过简单的变形就可以得到 $$\phi(n)=\prod_i p_i^{k_i} *{{p_i-1}\over p_i}=n*\prod (1-{1\over p_i})$$

九、莫比乌斯函数

$$\mu(n) = \begin{cases} 0, & \text{n存在一个质因子次数>1}\\ -1, & \text{n的质因子次数均为1，并且n为质数或n有奇数个质因子} \\ 1, & \text{n的质因子次数均为1，并且n有偶数个质因子} \end{cases}$$
莫比乌斯函数的一个性质：
$$[n=1]=\sum\limits_{d|n}\mu(d)$$
同样不要问我证明。。。

十、同余

a,b对p取模得到相同余数，称a,b在模p意义下同余，记为$a\equiv b\pmod p$
性质：
同余关系的自反、对称、传递：
$a\equiv a\pmod p$
若$a\equiv b\pmod p$，则$b\equiv a\pmod p$
若$a\equiv b\pmod p$，$b\equiv c\pmod p$，则$a\equiv c\pmod p$
同余关系的加减：
若$a\equiv b\pmod p$，$c\equiv d\pmod p$，则${a\pm c}\equiv {b\pm d}\pmod p$
同余关系相乘：
若$a\equiv b\pmod p$，$c\equiv d\pmod p$，则${ac}\equiv {bd}\pmod p$
想一想为什么？

十一、欧拉定理和费马小定理

欧拉定理：若a,p为正整数且(a,p)=1,则满足：

$${a^{\phi(p)}}\equiv 1\pmod p$$
费马小定理：若a为正整数，p为质数，且(a,p)=1，则满足： $${a^{p-1}}\equiv 1\pmod p$$
证明：非常简单，前面我们已经知道当p为质数时$\phi(p)=p-1$，将此结论代入欧拉定理即可证明。

十二、逆元

逆元：如果 ${ab}\equiv 1\pmod p$，那么我们称在模p意义下a,b互为逆元。
a有逆元的充要条件是(a,p)=1。（想一想为什么？）
所以，当p为质数时，$a^p$的逆元为$a^{p-2}$（由费马小定理可知）
逆元的作用：在模意义下进行除法。乘a的逆元等同于除以a。