无处不在的二分查找

引入

什么是二分查找？

先来一个简单的游戏，我选定了1-100之间的某个数，你来猜。50？太大了。25？太小了。如此，游戏进行下去，直到你猜中为止。这样，对区间为1-n之间的整数，你可以在log(n)次之内猜中。

在某一给定范围内，查找某个对象，每次查找可以判断该对象与相应位置值的关系。二分查找通过查找当前范围的中间位置来定位，这样每次查找之后，查找的范围都会变为原来的一半。二分查找其实是一种分而治之的思想，将查找的任务分解为两个子空间，每次比较都判断下一个查询的子空间，依次迭代之后，最终达到查询的目的。

 

性能

对比用顺序查找的方法，如从1开始往n逐个猜测，平均需猜测n/2次。

如果n为100万，使用二分查找，只需20次，而顺序查找平均需100万次，可以看出二分查找的强大性能。

关于这种方法快速的实质，在《数学之美番外篇》中，有很生动的探讨，基本idea是，每次查找得到的分支，都是等概率的。

 

用处

二分查找应用范围很广，最常见的当然是有序数组中的元素查找。数学上，求解方程的近似解时，也会用到二分法查找。

在《编程珠玑》”2、9章都有提及。而《编程之美》3.11节“程序改错”中，提到的第一个改错就是二分查找。

 

用法

1.最简单的查找是在有序数组中，查找某个数，返回任意一个满足的索引。

如数组1,5,19,20,31,31,401 中查找31，满足的有2个，则查找返回任意一个位置都可以。

算法设计很简单，使用三个标记：l,u,m;  l代表当前搜索的范围的下界，u代表上届，m为l和u的中值（向下取整）。

迭代过程只需比较m位置的值与x(所查找的值）关系，若 a[m]>x,则x只可能出现在左边的区间，此时只需修改u为m-1；若a[m]<x,则x只可能出现在右边的区间，此时只需修改l的值为m+1；迭代终止条件为l值大于u。

int bisearch_v1(int*a,int n,int x)
{
	int l=0,u=n-1,m;
	while (l<=u)
	{
		m=l+(u-l)/2;//注意 没有使用m=(l+u)/2;防止越界

		if(a[m]==x) 
			return m;
		if (a[m]>x)
			u=m-1;
		else
			l=m+1;
	}
	return -1;
}

2.上述算法有两个问题：

a.每次循环迭代，需要比较两次，有没有更高效的算法？

b. 有多个符号条件的位置时，不能返回特定位置要求。

重新定义问题：在有序数组中，查找某个数，返回一个满足的索引，如有多个位置满足要求，则返回第一个满足的索引。

关键思路： 仍然使用三个标记：l,u,m。设有关系式：a[l]<x<=a[u], 并假设 a[-1]<x,a[n]>=x。其中l 代表检索范围内，已检索的小于x的最大索引，初始值为-1；u代表检索范围内，已检索的大于或等于x的最小索引。迭代终止条件为l+1==u，此时l 指向的是有序数组中，小于x的最大索引，而u为大于或等于x的最小索引。只需检测u，a[u]与x的关系即可。

int bisearch_v2(int *a,int n,int x)
{//注意对比1中 l,u的初始值，迭代终止条件，以及l,u的修改方法
	int l=-1,u=n,m;
	while (l+1!=u)
	{
		m=l+(u-l)/2;
		if (a[m]<x)
			l=m;
		else
			u=m;		
	}
	if(u!=n&&a[u]==x)
		return u;
	else
		return -1;
}

3.类似2中描述，如《编程之美》所提出的 ，找出一个有序（字典序）字符串数组中，值等于字符串v的元素的序号，如果有多个元素满足这个条件，则返回其中最大的序号。

可用2中分析的方法来解。

同时该书中提到多个二分查找类似的问题，摘录如下：

a.给定一个有序（不降序）数组arr，求任意一个i使得arr[i] 等于v，不存在则返回-1

b.给定一个有序（不降序）数组arr，求最小的i使得arr[i] 等于v，不存在则返回-1

c.给定一个有序（不降序）数组arr，求最大的i使得arr[i] 等于v，不存在则返回-1

d.给定一个有序（不降序）数组arr，求最大的i使得arr[i] 小于v，不存在则返回-1

e.给定一个有序（不降序）数组arr，求最小的i使得arr[i] 大于v，不存在则返回-1

有兴趣的朋友可以思考下。