二分查找

二分查找顾名思义，平分成两份查找（以网易云课堂 第六周作业为例，使用Python语言）

两点入门二分查找：

a. 猜测的值 = 中间值 =（low+high）/2 —— 二分的意义

b. 中间值<实际值，low = 中间值位置+1；中间值>实际值，high = 中间值-1

提供一个简易的代码模板（默认能够找到——如果不存在这个值也没必要查找了，提前使用in来判断是否存在）:

def search(sequence, number, lower, upper):
    if lower == upper:
        assert number == sequence[upper] # 断言一定能找到，找不到则异常
        return upper
    else:
        middle = (lower + upper)//2
        if number > sequence[middle]:
            return search(sequence, number, middle+1, upper)
        else: # there has 2 situation--middle is not (middle-1)
            return search(sequence,number,lower,middle)

一些实例：

1.定义一个 prime() 函数求整数 n 以内（不包括n）的所有素数（1不是素数），并返回一个按照升序排列的素数列表。使用递归来实现一个二分查找算法函数bi_search()，该函数实现检索任意一个整数在 prime() 函数生成的素数列表中位置（索引）的功能，并返回该位置的索引值，若该数不存在则返回 -1。

思考：

要查找位置并且返回索引值，一般解决方法很简单：使用循环判断 / 列表的index方法，但是要是列表很长东西很多，那么这样的从头开始循环的话则效率会很低，那么使用二分查找。

解：

说到递归函数，不得不再一次强调：一定要有终止条件返回；非终止条件的递归过程，调用自身前面一定要有return，否则返回的是None。

这道题中的终止条件便是：返回该位置的索引值，若该数不存在则返回 -1

def prime(n):
    lst = []
    for i in range(2, n):
        for j in range(2, i):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            lst.append(i)
    return lst
n = 10  # assume n = 10
lst = prime(n)


x = raw_input("Enter num: ")
x = int(x) # raw_input() return a string

def bi_search(x, low, high):
    guess = (low + high) / 2
    print lst[guess], x
    if (x == lst[guess]):
        return guess  
    elif low > high:
        return -1
    elif lst[guess] > x:
        print 'lst[guess] > x'
        return bi_search(x, low, guess -1) # !!! take care
    elif lst[guess] < x:
        return bi_search(x, guess + 1, high) # !!! take care

再次通过同学ZHT的启发，简化下程序：首先利用Python 的 “in” 运算符判断数字是否在列表内（先决条件），再进行查找。

既然循环的先决条件是有x 存在于列表当中，所以必然就是能够找到的 x 的位置的，故终止条件只有一个：x 的位置

def bi_serach(lst,n):
    lenth = len(lst)
    while n in lst: 
        if n == lst[lenth / 2]:
            return lenth / 2
        elif n < lst[lenth / 2]:
            lst = lst[:lenth / 2]
            return bi_serach(lst,n)
        else:
            lst = lst[lenth / 2 + 1:]
            return bi_serach(lst,n) + lenth /2 + 1 # after slicing you must do
    return -1 # same indent with "While"

上述程序有一个需要注意的地方：切片操作，往后切片之后一定要注意下标的变化要还原， 之前提到过这样一个问题：“注意细节上的逻辑错误，在swap中，第二个参数不能够直接传mi，因为 mi 是在砍掉了 i 项之后的 nLst 中的位置 ≠ lst中的位置， 所以需要给mi 补上 i 才是 lst 中正确的位置。”

另外，使用循环实现二分查找：

同样需要找准终止条件，依然是：找到了 & 没找到的情况

逻辑是：没有找到就持续循环，找到了就return，故循环结束条件就是没有找到任何匹配position。

def bi_search(x, low, high):
   while high >= low:
       guess = (high + low) / 2
       if x == lst[guess]:
           return guess
       elif lst[guess] > x:
           high = guess - 1
       else:
           low = guess +1
   return -1

当然，可以依照上述递归的方法也进行改装（循环的先决条件是，x 存在于列表当中），只需要将 while 条件（修改 while high >= low: ）

while x in lst:

改变即可。