POJ 2229 Sumsets (完全背包 or 递推)

找一些2^x(0<=x)，使它们的和为N。比如，N=7： 
1) 1+1+1+1+1+1+1 
2) 1+1+1+1+1+2 
3) 1+1+1+2+2 
4) 1+1+1+4 
5) 1+2+2+2 
6) 1+2+4 

(1 <= N <= 1,000,000). 最后答案保留最后九位。

思路：

可以用完全背包，d[i][v]  表示前i个数之和为v的最多数量。复杂度O(vn)

还有个更好的思路，f[n]表示和为n的方案数，则有

1. 当 n 为奇数时, f[n] = f[n-1], 因为只需在所有的序列前添加一个 1 即可, 所有的序列同时延迟 1 位, 不会出现重复
2. 当 n 为偶数时, 分为两种情况
　　<1> 某个序列首位为1, 则该序列由 f(n-1) 延长而来
　　<2> 当某个序列首位为2, 则该序列没有1, 将该序列的所有元素除以 2, 则 是 f(n/2)的序列

      f[n] = f[n-1]+f[n/2]

复杂度O(n)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9;
const int maxn = 1e6+5;
ll fac[maxn], dp[maxn];

void init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < 20; i++)
        fac[i] = fac[i-1]*2;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1;
    for(int i = 0; i < 20; i++)
        for(int j = fac[i]; j < maxn; j++)
            dp[j] = (dp[j]+dp[j-fac[i]])%mod;
}

int main(void)
{
    init();
    int n;
    while(cin >> n)
        printf("%lld\n", dp[n]);
    return 0;
}

/*******************************************/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod = 1e9;
const int maxn = 1e6+5;
int dp[maxn] = {1};

void init()
{
    for(int i = 1; i < maxn; i++)
    {
        if(i%2) dp[i] = dp[i-1];
        else dp[i] = (dp[i-1]+dp[i/2])%mod;
    }
}

int main(void)
{
    int n;
    init();
    while(cin >> n)
        printf("%d\n", dp[n]);
    return 0;
}