HDU 6146 && 2017 百度之星复赛 1003 Pokémon GO（递推）

最新推荐文章于 2020-07-21 09:58:10 发布

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本文介绍了一种解决2*n网格路径计数问题的方法，利用递推数组进行路径方案数的计算。文中详细解释了递推公式背后的逻辑，并提供了一份完整的C++实现代码。

题意：给你一个2*n的网格，你可以从任意一点出发，每次可以向附近走一步，包括斜对角，走完所有格子且所有格

子恰好走一遍的方案数。

思路：nyoj980原题，思路见：点击打开链接

摘自他的：

一共有两个递推数组：

首先设Dn表示从左边或者右边的某个角出发，然后走遍所有格子回到同一列有多少种方法。
明显D1=2,Dn=2*Dn-1
所以Dn=2^n

然后设An表示从某个角出发，走遍所有格子（不一定回到同一列）有多少种方法。
An=Dn+2*An-1+4*An-2
这个递推公式就用统计原理分析出来，分别对应三种不同的走法
Dn对应从这个角走到下一列，然后走遍所有格子回到下一列，再回到这列的走法
2*An-1表示直接走到这列的另一个角，然后再走其他的地方
4*An-2表示走对角线方法走遍前两列，然后走其他的地方

这样答案如果从四个角出发，总数就是4*An

然后分析从某一列开始，假设第i列(1<i<n)
则总数为2*(2*Di-1*An-i+2*Dn-i*Ai-1)
对i从2到n-1全部加和，得到这部分答案

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
ll a[maxn] = {1, 1, 6}, fac[maxn] = {1, 1};

void init()
{
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        fac[i] = fac[i-1]*2%mod;
}

int main(void)
{
    init();
    int _, n;
    cin >> _;
    while(_--)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(n == 1) { puts("2"); continue; }
        for(int i = 3; i <= n; i++)
            a[i] = (((a[i-1]*2)%mod+fac[i])%mod+(a[i-2]*4)%mod)%mod;
        ll ans = a[n]*4%mod;
        for(int i = 2; i <= n-1; i++)
            ans = (ans+(((fac[n-i]*8)%mod*a[i-1]%mod)%mod+((a[n-i]*8)%mod*fac[i-1]%mod)%mod)%mod)%mod;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}