HDU 2502 月之数（简单递推）

月之数

Problem Description

当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。

 

Input

给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。

 

Output

对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。

 

Sample Input

3

1

2

3

 

Sample Output

1

3

8

分析：

　　1二进制数有1个：  1

　　2二进制数有2个：10 11

　　3二进制数有4个：100 101 110 111

　　4二进制数有8个：1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

　　可以看到第n二进制数是第(n-1)二进制数 总数目的2倍，他们第一位都是1，所以多出来2ⁿ个1。

　　所有的数字中，一半是在1后边加了第(n-1)二进制数。另一半第一位是1，第二位是0，最后的各个位跟第(n-1)二进制数中最后个各个位都相同，令f[n]表示第n二进制数中1的个数。所以多出来 f[n-1] + (f[n-1] - 2^n-1) = 2*f[n-1]-2^n-1

　　所以可以推导出：f[n] = 2ⁿ + 2*f[n-1] -2^n-1 = 2^n-1 + 2*f[n-1]

 

代码如下：

 1 # include<stdio.h>
 2 int f[21]={0,1,3};
 3 void init(){
 4     int k=1;
 5     for(int i=3; i<21; i++){
 6         k <<= 1;
 7         f[i] = k  + 2*f[i-1];
 8     }
 9 }
10 int main(){
11     int T;
12     init();
13     scanf("%d",&T);
14     while(T--){
15         int n;
16         scanf("%d",&n);
17         printf("%d\n",f[n]);
18     }
19     return 0;
20 }