CodeForces 839D Winter is here(数学容斥)

枚举GCD算法解析

最新推荐文章于 2022-11-10 23:49:22 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-10 23:49:22 发布 · 488 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#codeforces #容斥

组合数学专栏收录该内容

17 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决特定组合数学问题的算法——通过枚举最大公约数(GCD)来计算满足条件的所有子集贡献总和。算法首先统计每个可能的最大公约数出现的次数，并利用这些计数来计算所有符合条件子集的贡献总和。

题意:给你n个数，问你所有满足gcd>1的子集，每个子集贡献为子集内元素个数*子集gcd，问所有满足条件的集合的

贡献和。

思路：可以枚举gcd，计算每个gcd的贡献，设含因子i的个数为cnt[i], gcd为i的贡献个数为1*C(cnt[i], 1) + 2*C(cnt[i],

2) + 3*C(cnt[i], 3) ... + cnt[i]*C(cnt[i], cnt[i])) - i*2的贡献 - i*3的贡献...., 可以记为ans[i] = 2^(cnt[i]-1) - ans[i*2] -

ans[i*3]. 倒着容斥下就可以，跟多校第二场的那题一样点击打开链接

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 2e5+5;
const int maxm = 1e6+5;
ll num[maxm], fac[maxn] = {1, 2};

int main(void)
{
    int n;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        fac[i] = fac[i-1]*2%mod;
    while(cin >> n)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            num[x]++;
        }
        for(int i = 2; i < maxm; i++)
            for(int j = i*2; j < maxm; j+=i)
                num[i] += num[j];
        for(int i = 2; i < maxm; i++)
            num[i] = fac[num[i]-1]*num[i]%mod;
        ll ans = 0;
        for(int i = maxm-1; i >= 2; i--)
            for(int j = i*2; j < maxm; j+=i)
                num[i] -= num[j];
        for(int i = 2; i < maxm; i++)
            ans = (ans+num[i]*i)%mod;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}