CodeForces 839 D.Winter is here（莫比乌斯反演+组合数学）

最新推荐文章于 2021-04-23 13:48:59 发布

v5zsq

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分类专栏： Code Forces 组合数学莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/79058925

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本文介绍了一种基于数论的方法来解决一类特定的问题：从给定的正整数集合中选择若干个数，使得这些数的最大公约数大于1，并计算所有这样的选择方式的贡献总和。文章详细解释了如何通过莫比乌斯反演、组合数学技巧以及预处理算法来高效地解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 个正整数 $a_1,...,a_n$ ，从中选出 $k$ 个数，若其 $gcd$ 大于 $1$ ，则贡献为 $k\cdot gcd$ ，求贡献和

Input

第一行一整数 $n$ ，之后输入 $n$ 个正整数 $a_i(1\le n\le 2\cdot 10^5,1\le a_i\le 10^6)$

Output

输出贡献和，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
3 3 1

Sample Output

Solution

令 $f(k,d)$ 表示选出 $k$ 个数其 $gcd$ 为 $d$ 的方案数， $F(k,d)$ 表示选出 $k$ 个数其 $gcd$ 被 $d$ 整除的方案数，记 $num_d$ 表示 $a_1,a_2,...,a_n$ 中可以被 $d$ 整除的数的个数，则 $F(k,d)=C_{num_d}^k$

记 $m=max(a_1,a_2,...,a_n)$ 为 $d$ 可能取到的最大值

显然 $F(k,d)=\sum\limits_{d|i}f(k,i)$ ，由莫比乌斯反演， $f(k,d)=\sum\limits_{d|i}\mu(\frac{i}{d})F(k,i)$

枚举 $k,d$ 得到贡献和 $ans=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{d=2}^mk\cdot f(k,d)=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{d=2}^m\sum\limits_{d|i}k\cdot\mu(\frac{i}{d})C_{num_i}^k=\sum\limits_{d=2}^m\sum\limits_{d|i}\sum\limits_{k=1}^nk\cdot C_{num_i}^k$

而 $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot C_{num_i}^k=\sum\limits_{k=1}^{num_i}k\cdot \frac{num_i!}{k!\cdot (num_i-k)!}=num_i\cdot \sum\limits_{k=1}^{num_i}C_{num_i-1}^{k-1}=num_i\cdot 2^{num_i-1}:=g(i)$

故 $ans=\sum\limits_{i=2}^mg(i)(\sum\limits_{d|i,d>1}\mu(\frac{i}{d}))=\sum\limits_{i=2}^mg(i)(\sum\limits_{d|i}\mu(d)-\mu(i))=\sum\limits_{i=2}^mg(i)\cdot (\varphi(i)-\mu(i))$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1000005;
#define mod 1000000007
int phi[maxn],mu[maxn],p[maxn],f[maxn],n,num[maxn];
void init(int n=1e6)
{
    int res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!phi[i])phi[i]=i-1,mu[i]=-1,p[res++]=i;
        for(int j=0;j<res&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            if(i%p[j])
            {
                phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
            }
            else 
            {
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=2*f[i-1]%mod;
} 
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&n);
    int m=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp;
        scanf("%d",&temp);
        m=max(m,temp);
        num[temp]++;
    }
    for(int i=2;i<=m;i++)
        for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
            num[i]+=num[j];
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(num[i])
            add(ans,(ll)(phi[i]-mu[i])*num[i]%mod*f[num[i]-1]%mod);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}