2017 四川省赛 L.Nice Trick(递推 DP)_2017年四川省赛nice trick-优快云博客

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本文介绍两种高效算法来计算序列中元素的乘积和。方法一利用已知的n个取3个的乘积和递推公式进行计算；方法二采用动态规划思想，通过构建状态转移方程求解。两种方法均提供了详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

方法一：因为已经告诉你了n个取3个的乘积和，所以可以利用这个公式递推，ans[i] = ans[i-1]+S(i-1,3)*a[i]

方法二：设 f(i, j) 表示在前 i 数里面挑 j 个乘起来的总和，那么f(i, j) = f(i − 1, j) + f(i − 1, j − 1) × ai

方法一代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e5+5;
ll a[maxn], n;

ll qmod(ll x, ll p)
{
    ll ans = 1;
    while(p)
    {
        if(p%2) ans = ans*x%mod;
        x = x*x%mod;
        p /= 2;
    }
    return ans;
}

int main(void)
{
    while(cin >> n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        ll ans = 0;
        ll sum1 = 0, sum2 = 0, sum3 = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if(n > 3)
            {
                ll tmp = (qmod(sum1, 3)-3*sum2%mod*sum1%mod+2*sum3%mod+mod)%mod*qmod(6, mod-2)%mod*a[i]%mod;
                ans = (ans+tmp)%mod;
            }
            sum1 = (sum1+a[i])%mod;
            sum2 = (sum2+a[i]*a[i])%mod;
            sum3 = (sum3+a[i]*a[i]%mod*a[i])%mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

方法二代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+5;
const int mod = 1e9+7;
ll a[maxn], dp[maxn][5];

int main(void)
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[1][1] = a[1];
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= 4; j++)
            {
                if(j == 1) dp[i][j] = (dp[i-1][j]+a[i])%mod;
                else dp[i][j] = (dp[i-1][j]+a[i]*dp[i-1][j-1])%mod;
            }
        }
        printf("%lld\n", dp[n][4]);
    }
    return 0;
}