求积公式
一般形式
∫baf(x)dx=∑k=0nAk+R[f]≈∑k=0nAk
插值型求积公式
Ak=∫balk(x)dx
R[f]=1(n+1)!∫baf(n+1)(ξx)ωn+1(x)dx,ξx∈(a,b)且与x有关
Newton-Cotes公式
形式
∫baf(x)dx≈(b−a)∑k=0nC(n)kyk
C(n)k=Akb−a=(−1)n−kn!(n−k)!∫n0∏i=0i≠kn(t−i)dt
R[f]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(n+1)(η)(n+1)!∫baωn+1(x)dx,f(n+2)(η)(n+2)!∫baxωn+1(x)dx,n为奇数n为偶数
Cotes系数表
n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|
1 | 12 | 12 | | | |
2 | 16 | 46 | 16 | | |
3 | 18 | 38 | 38 | 18 | |
4 | 790 | 1645 | 215 | 1645 | 790 |
梯形求积公式
当n=1时,Newton-Cotes公式就成了梯形求积公式,如下:
T:∫baf(x)dx≈b−a2[f(a)+f(b)],|R[f]|⩽(b−a)312M2
说明:
M2代表
f(x)的二阶导数的最大值。
Simpson求积公式
当n=2时,Newton-Cotes公式就成了Simpson求积公式,如下:
S:∫baf(x)dx≈b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]
|R[f]|⩽(b−a)52880M4
说明:
M4代表
f(x)的四阶导数的最大值。
Cotes求积公式
当n=4时,Newton-Cotes公式就成了Cotes求积公式,如下:
C:∫baf(x)dx≈b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]
|R[f]|⩽(b−a)71935360M6
说明:
M6代表
f(x)的六阶导数的最大值。
复化求积公式
把积分区间划分为n个小区间,则每小段区间长度h=b−an,I=∫baf(x)dx.
复化梯形求积公式
对梯形求积公式进行复化,可以得到:
Tn=h2[f(a)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]
|I−Tn|⩽(b−a)312n2M2
其中,
xk=a+kh,
M2代表
f(x)的二阶导数的最大值。
复化Simpson求积公式
对Simpson求积公式进行复化,可以得到:
Sn=h6[f(a)+4∑k=1nf(xk−12)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]
|I−Sn|⩽(b−a)52880n4M4
其中,
xk=a+kh,
xk−12=a+(k−12)h,
M4代表
f(x)的四阶导数的最大值。
复化Cotes求积公式
对Cotes求积公式进行复化,可以得到:
Cn=h90[7f(a)+32∑k=1n(f(xk−34)+f(xk−14))+12∑k=1nf(xk−12)+14∑k=1n−1f(xk)+7f(b)]
|I−Cn|⩽(b−a)71935360n6M6
其中,
xk=a+kh,
xk−34=a+(k−34)h,
xk−12=a+(k−12)h,
xk−14=a+(k−14)h,
M6代表
f(x)的六阶导数的最大值。
Gauss型求积公式
定义6.1 代数精度
若求积公式
∫baf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)
对
f(x)=xj都精确成立,
(j=0,1,2,...,m),但是对
f(x)=xm+1不精确成立,即
∫baxjdx=∑k=0nAkxjk,j=0,1,2,...,m
∫baxm+1dx≠∑k=0nAkxm+1k
则称此公式
具有m次代数精度.
可见, 若公式具有
m次代数精度,则公式对所有次数不超过
m的多项式都精确成立.
n+1个节点的
插值型求积公式至少具有
n次代数精度,
n是偶数时
Newton−Cotes公式具有
n+1次代数精度.
定理6.1 Gauss型求积公式的一般理论
区间[a,b]上权函数为ρ(x)的具有n个节点的数值积分公式代数精度不超过2n−1次.
证明
若记x1,x2,…xn为求积节点,则积分公式为
∫baf(x)ρ(x)dx≈∑k=1nAkf(xk)
取
2n次多项式
p(x)=(x−x1)2(x−x2)2...(x−xn)2,则有
0<∫bap(x)ρ(x)dx≠∑k=1nAkp(xk)=0
所以,求积公式的代数精度不超过
2n−1.
定义6.2 Gauss型求积公式
使求积公式具有2n−1次代数精度的节点x1,x2,…xn称为Gauss点,此时的插值型求积公式称为Gauss型求积公式.
定理6.2 Gauss点定理
对区间[a,b]上权函数为ρ(x)的积分
I=∫baf(x)ρ(x)dx
区间
[a,b]上权函数为
ρ(x)的正交多项式
pn(x)的
n个零点
x1,x2,…xn恰为
Gauss点.
构造方法
1.求[a,b]上权函数为ρ(x)的n次正交多项式\pn(x);
2.求\pn(x)=0的n个零点,作为Gauss点;x1,x2,...,xn;
3.计算系数Ai=∫baρ(x)li(x)dx,i=1,2,...,n.;
4.给出结果
∫baf(x)ρ(x)dx≈∑i=1nAif(xi)
5.计算余项步骤
1>构造
2n−1次
Hermite插值多项式
H2n−1(x)使
H2n−1(xi)=f(xi),
H′2n−1(xi)=f′(xi).则
R2n−1(x)=f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x).
因为
Gauss型求积公式具有
2n−1次代数精度,所以有
∫baH2n−1(x)ρ(x)dx=∑i=1nAiH2n−1(xi)
2>
R[f]=∫baf(x)ρ(x)dx−∑i=1nAif(xi)=∫baf(x)ρ(x)dx−∑i=1nAiH2n−1(xi)=∫baf(x)ρ(x)dx−∫baH2n−1(x)ρ(x)dx=∫baf(x)ρ(x)f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x)dx=f(2n)(ηx)(2n)!∫baω2n(x)ρ(x)dx