数值分析第六章数值积分

最新推荐文章于 2025-05-10 12:27:34 发布

码农康康

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分类专栏：计算机数学文章标签：计算机数学数值积分插值型求积公式复化求积公式 Cotes系数表

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本文详细介绍了数值积分中的求积公式，包括Newton-Cotes公式、Simpson公式、Cotes公式及其复化版本，并深入探讨了Gauss型求积公式的原理与构造方法。

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求积公式

一般形式

\int b a f (x) d x = \sum k = 0 n A k + R [f] \approx \sum k = 0 n A k

$\int_a^bf(x)dx=\sum_{k=0}^n A_k+R[f] \approx \sum_{k=0}^n A_k$

插值型求积公式

A k = \int b a l k (x) d x

$A_k=\int _a^b l_k(x)dx$

R [f] = 1 ( n + 1 ) ! \int b a f (n + 1) (ξ x) ω n + 1 (x) d x, ξ x \in (a, b) 且 与 x 有 关

$R[f]=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^bf^{(n+1)}(\xi_x)\omega_{n+1}(x)dx,\xi_x \in(a,b)且与x有关$

Newton-Cotes公式

形式

\int b a f (x) d x \approx (b - a) \sum k = 0 n C (n) k y k

$\int_a^bf(x)dx\approx(b-a)\sum_{k=0}^nC_k^{(n)}y_k$

C (n) k = A k b - a = ( - 1 ) n - k n ! ( n - k ) ! \int n 0 \prod i = 0 i \neq k n (t - i) d t

$C_k^{(n)}=\frac{A_k}{b-a}=\frac{(-1)^{n-k}}{n!(n-k)!}\int_0^n \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq k}}^{n}(t-i)dt$

R [f] = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f ( n + 1 ) ( η ) ( n + 1 ) ! \int b a ω n + 1 (x) d x, f ( n + 2 ) ( η ) ( n + 2 ) ! \int b a x ω n + 1 (x) d x, n 为 奇 数 n 为 偶 数

$R[f]=\left\{\begin{matrix} \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!}\int_a^b\omega_{n+1}(x)dx,& n为奇数\\ \frac{f^{(n+2)}(\eta)}{(n+2)!}\int_a^bx\omega_{n+1}(x)dx,& n为偶数 \end{matrix}\right.$

$Cotes$ 系数表

n \ k	0	1	2	3	4
1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$
3	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$
4	$\frac{7}{90}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{7}{90}$

梯形求积公式

当 $n=1$ 时，Newton-Cotes公式就成了梯形求积公式，如下：

T : \int b a f (x) d x \approx b - a 2 [f (a) + f (b)], | R [f] | ⩽ ( b - a ) 3 12 M 2

$T:\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}\left [ f(a)+f(b) \right ],\left |R[f] \right | \leqslant \frac{(b-a)^3}{12}M_2$
说明：

M2 $M_2$ 代表

f(x) $f(x)$ 的二阶导数的最大值。

$Simpson$ 求积公式

当 $n=2$ 时，Newton-Cotes公式就成了 $Simpson$ 求积公式，如下：

S : \int b a f (x) d x \approx b - a 6 [f (a) + 4 f (a + b 2) + f (b)]

$S:\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{6}\left [ f(a)+4f\left ( \frac{a+b}{2} \right )+f(b) \right ]$

| R [f] | ⩽ ( b - a ) 5 2880 M 4

$\left |R[f] \right | \leqslant \frac{(b-a)^5}{2880}M_4$
说明：

M4 $M_4$ 代表

f(x) $f(x)$ 的四阶导数的最大值。

$Cotes$ 求积公式

当 $n=4$ 时，Newton-Cotes公式就成了 $Cotes$ 求积公式，如下：

C : \int b a f (x) d x \approx b - a 90 [7 f (x 0) + 32 f (x 1) + 12 f (x 2) + 32 f (x 3) + 7 f (x 4)]

$C:\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{90}\left [ 7f(x_0)+32f(x_1) + 12f(x_2) + 32f(x_3) +7f(x_4) \right ]$

| R [f] | ⩽ ( b - a ) 7 1935360 M 6

$\left |R[f] \right | \leqslant \frac{(b-a)^7}{1935360}M_6$
说明：

M6 $M_6$ 代表

f(x) $f(x)$ 的六阶导数的最大值。

复化求积公式

把积分区间划分为 $n$ 个小区间，则每小段区间长度 $h=\frac{b-a}{n}$ ， $I=\int_a^bf(x)dx$ .

复化梯形求积公式

对梯形求积公式进行复化，可以得到：

T n = h 2 [f (a) + 2 \sum k = 1 n - 1 f (x k) + f (b)]

$T_n=\frac{h}{2}\left [ f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b)\right ]$

| I - T n | ⩽ ( b - a ) 3 12 n 2 M 2

$\left | I-T_n \right | \leqslant \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2$
其中，

xk=a+kh $x_k=a+kh$ ，

M2 $M_2$ 代表

f(x) $f(x)$ 的二阶导数的最大值。

复化 $Simpson$ 求积公式

对 $Simpson$ 求积公式进行复化，可以得到：

S n = h 6 [f (a) + 4 \sum k = 1 n f (x k - 1 2) + 2 \sum k = 1 n - 1 f (x k) + f (b)]

$S_n=\frac{h}{6}\left [ f(a) + 4\sum_{k=1}^{n} f(x_{k-\frac{1}{2}}) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b)\right ]$

| I - S n | ⩽ ( b - a ) 5 2880 n 4 M 4

$\left | I-S_n \right | \leqslant \frac{(b-a)^5}{2880n^4}M_4$
其中，

xk=a+kh $x_k=a+kh$ ，

xk−12=a+(k−12)h $x_{k-\frac{1}{2}}=a+\left ( k-\frac{1}{2}\right )h$ ，

M4 $M_4$ 代表

f(x) $f(x)$ 的四阶导数的最大值。

复化 $Cotes$ 求积公式

对 $Cotes$ 求积公式进行复化，可以得到：

C n = h 90 [7 f (a) + 32 \sum k = 1 n (f (x k - 3 4) + f (x k - 1 4)) + 12 \sum k = 1 n f (x k - 1 2) + 14 \sum k = 1 n - 1 f (x k) + 7 f (b)]

$C_n=\frac{h}{90}\left [ 7f(a) + 32\sum_{k=1}^{n} \left ( f(x_{k-\frac{3}{4}}) + f(x_{k-\frac{1}{4}})\right ) + 12\sum_{k=1}^{n} f(x_{k-\frac{1}{2}}) + 14\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + 7f(b)\right ]$

| I - C n | ⩽ ( b - a ) 7 1935360 n 6 M 6

$\left | I-C_n \right | \leqslant \frac{(b-a)^7}{1935360n^6}M_6$
其中，

xk=a+kh $x_k=a+kh$ ，

xk−34=a+(k−34)h $x_{k-\frac{3}{4}}=a+\left ( k-\frac{3}{4}\right )h$ ，

xk−12=a+(k−12)h $x_{k-\frac{1}{2}}=a+\left ( k-\frac{1}{2}\right )h$ ，

xk−14=a+(k−14)h $x_{k-\frac{1}{4}}=a+\left ( k-\frac{1}{4}\right )h$ ，

M6 $M_6$ 代表

f(x) $f(x)$ 的六阶导数的最大值。

$Gauss$ 型求积公式

定义6.1 代数精度

若求积公式

\int b a f (x) d x \approx \sum k = 0 n A k f (x k)

$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$ 对

f(x)=xj $f(x)=x^j$ 都精确成立，

(j=0,1,2,...,m) $(j=0,1,2,...,m)$ ，但是对

f(x)=xm+1 $f(x)=x^{m+1}$ 不精确成立，即

\int b a x j d x = \sum k = 0 n A k x j k, j = 0, 1, 2, . . ., m

$\int_a^bx^jdx=\sum_{k=0}^nA_kx_k^j,j=0,1,2,...,m$

\int b a x m + 1 d x \neq \sum k = 0 n A k x m + 1 k

$\int_a^bx^{m+1}dx \neq \sum_{k=0}^nA_kx_k^{m+1}$
则称此公式具有 $m$ 次代数精度.
可见, 若公式具有

m $m$ 次代数精度,则公式对所有次数不超过

m $m$ 的多项式都精确成立.
$n+1$ 个节点的插值型求积公式至少具有 $n$ 次代数精度,

n $n$ 是偶数时

Newton−Cotes $Newton-Cotes$ 公式具有

n+1 $n+1$ 次代数精度.

定理6.1 Gauss型求积公式的一般理论

区间 $[a,b]$ 上权函数为 $\rho(x)$ 的具有 $n$ 个节点的数值积分公式代数精度不超过 $2n-1$ 次.

证明

若记 $x_1,x_2,…x_n$ 为求积节点,则积分公式为

\int b a f (x) ρ (x) d x \approx \sum k = 1 n A k f (x k)

$\int_a^bf(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=1}^nA_kf(x_k)$ 取

2n $2n$ 次多项式

p(x)=(x−x1)2(x−x2)2...(x−xn)2 $p(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2...(x-x_n)^2$ ,则有

0 < \int b a p (x) ρ (x) d x \neq \sum k = 1 n A k p (x k) = 0

$0 <\int_a^bp(x)\rho(x)dx \neq \sum_{k=1}^nA_kp(x_k)=0$ 所以，求积公式的代数精度不超过

2n−1 $2n-1$ .

定义6.2 $Gauss$ 型求积公式

使求积公式具有 $2n-1$ 次代数精度的节点 $x_1,x_2,…x_n$ 称为 $Gauss$ 点,此时的插值型求积公式称为 $Gauss$ 型求积公式.

定理6.2 $Gauss$ 点定理

对区间 $[a,b]$ 上权函数为 $\rho(x)$ 的积分

I = \int b a f (x) ρ (x) d x

$I=\int_a^bf(x)\rho(x)dx$
区间

[a,b] $[a,b]$ 上权函数为

ρ(x) $\rho(x)$ 的正交多项式

pn(x) $p_n(x)$ 的

n $n$ 个零点

x1,x2,…xn $x_1,x_2,…x_n$ 恰为

Gauss $Gauss$ 点.

构造方法

1.求 $\left [ a,b\right ]$ 上权函数为 $\rho (x)$ 的 $n$ 次正交多项式 $\p_n(x)$ ;
2.求 $\p_n(x)=0$ 的 $n$ 个零点，作为 $Gauss$ 点; $x_1,x_2,...,x_n$ ;
3.计算系数 $A_i=\int_a^b \rho (x)l_i(x)dx,i=1,2,...,n.$ ;
4.给出结果

\int b a f (x) ρ (x) d x \approx \sum i = 1 n A i f (x i)

$\int_a^bf(x)\rho(x)dx \approx \sum_{i=1}^nA_if(x_i)$
5.计算余项步骤
1>构造

2n−1 $2n-1$ 次

Hermite $Hermite$ 插值多项式

H2n−1(x) $H_{2n-1}(x)$ 使

H2n−1(xi)=f(xi) $H_{2n-1}(x_i)=f(x_i)$ ,

H′2n−1(xi)=f′(xi) $H'_{2n-1}(x_i)=f'(x_i)$ .则

R2n−1(x)=f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x) $R_{2n-1}(x)=\frac{f^{(2n)}(\xi_x)}{(2n)!}\omega_n^2(x)$ .
因为

Gauss $Gauss$ 型求积公式具有

2n−1 $2n-1$ 次代数精度，所以有

\int b a H 2 n - 1 (x) ρ (x) d x = \sum i = 1 n A i H 2 n - 1 (x i)

$\int_a^bH_{2n-1}(x)\rho(x)dx=\sum_{i=1}^nA_iH_{2n-1}(x_i)$
2>

R [f] = \int b a f (x) ρ (x) d x - \sum i = 1 n A i f (x i) = \int b a f (x) ρ (x) d x - \sum i = 1 n A i H 2 n - 1 (x i) = \int b a f (x) ρ (x) d x - \int b a H 2 n - 1 (x) ρ (x) d x = \int b a f (x) ρ (x) f ( 2 n ) ( ξ x ) ( 2 n ) ! ω 2 n (x) d x = f ( 2 n ) ( η x ) ( 2 n ) ! \int b a ω 2 n (x) ρ (x) d x

$\begin{align*} R[f]&= \int_a^bf(x)\rho(x)dx-\sum_{i=1}^nA_if(x_i) \\ &=\int_a^bf(x)\rho(x)dx-\sum_{i=1}^nA_iH_{2n-1}(x_i) \\ &=\int_a^bf(x)\rho(x)dx-\int_a^bH_{2n-1}(x)\rho(x)dx \\ &= \int_a^bf(x)\rho(x)\frac{f^{(2n)}(\xi_x)}{(2n)!}\omega_n^2(x) dx \\ &= \frac{f^{(2n)}(\eta_x)}{(2n)!}\int_a^b\omega_n^2(x)\rho(x)dx \end{align*}$