【数值分析干货】第六章 数值积分

求积公式

一般形式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^n{A}_k+R[f]\approx \sum _{k=0}^n{A}_k$$

插值型求积公式

$$A_k={\int }_a^b{l}_k(x)dx$$

$$R[f]=\frac{1}{(n+1)!}{\int }_a^b{f}^{(n+1)}({\xi }_x){\omega }_{n+1}(x)dx,{\xi }_x\in (a,b)且与x有关$$

Newton-Cotes公式

形式

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{k=0}^n{C}_k^{(n)}{y}_k$$

$$C_k^{(n)}=\frac{A_k}{b-a}=\frac{(-1{)}^{n-k}}{n!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}^n(t-i)dt$$

$$R[f]=\{\begin{array}{cc}\frac{f^{(n+1)}(\eta )}{(n+1)!}{\int }_a^b{\omega }_{n+1}(x)dx,& n为奇数\\ \frac{f^{(n+2)}(\eta )}{(n+2)!}{\int }_a^{b}x{\omega }_{n+1}(x)dx,& n为偶数\end{array}$$

$Cotes$系数表

n \ k	0	1	2	3	4
1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$
3	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$
4	$\frac{7}{90}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{7}{90}$

梯形求积公式

当$n=1$时，Newton-Cotes公式就成了梯形求积公式，如下：
$$T:{\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right],\left|R[f]\right|⩽\frac{(b-a{)}^3}{12}{M}_2$$
说明：$M_2$代表$f(x)$的二阶导数的最大值。

$Simpson$求积公式

当$n=2$时，Newton-Cotes公式就成了$Simpson$求积公式，如下：
$$S:{\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$$

$$\left|R[f]\right|⩽\frac{(b-a{)}^5}{2880}{M}_4$$
说明：$M_4$代表$f(x)$的四阶导数的最大值。

$Cotes$求积公式

当$n=4$时，Newton-Cotes公式就成了$Cotes$求积公式，如下：
$$C:{\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{90}\left[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)\right]$$

$$\left|R[f]\right|⩽\frac{(b-a{)}^7}{1935360}{M}_6$$
说明：$M_6$代表$f(x)$的六阶导数的最大值。

复化求积公式

把积分区间划分为$n$个小区间，则每小段区间长度$h=\frac{b-a}{n}$，$I={\int }_a^{b}f(x)dx$.

复化梯形求积公式

对梯形求积公式进行复化，可以得到：
$$T_n=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right]$$

$$\left|I-T_n\right|⩽\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{M}_2$$
其中，$x_k=a+kh$，$M_2$代表$f(x)$的二阶导数的最大值。

复化$Simpson$求积公式

对$Simpson$求积公式进行复化，可以得到：
$$S_n=\frac{h}{6}\left[f(a)+4\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-\frac{1}{2}})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right]$$

$$\left|I-S_n\right|⩽\frac{(b-a{)}^5}{2880n^4}{M}_4$$
其中，$x_k=a+kh$，$x_{k-\frac{1}{2}}=a+\left(k-\frac{1}{2}\right)h$，$M_4$代表$f(x)$的四阶导数的最大值。

复化$Cotes$求积公式

对$Cotes$求积公式进行复化，可以得到：
$$C_n=\frac{h}{90}\left[7f(a)+32\sum _{k=1}^n\left(f(x_{k-\frac{3}{4}})+f(x_{k-\frac{1}{4}})\right)+12\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-\frac{1}{2}})+14\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)\right]$$

$$\left|I-C_n\right|⩽\frac{(b-a{)}^7}{1935360n^6}{M}_6$$
其中，$x_k=a+kh$，$x_{k-\frac{3}{4}}=a+\left(k-\frac{3}{4}\right)h$，$x_{k-\frac{1}{2}}=a+\left(k-\frac{1}{2}\right)h$，$x_{k-\frac{1}{4}}=a+\left(k-\frac{1}{4}\right)h$，$M_6$代表$f(x)$的六阶导数的最大值。

$Gauss$型求积公式

定义6.1 代数精度

若求积公式$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$对$f(x)=x^j$都精确成立，$ (j=0,1,2,…,m)$，但是对$f(x)=x^{m+1}$不精确成立，即$${\int }_a^b{x}^{j}dx={\sum }_{k=0}^n{A}_k{x}_k^j,j=0,1,2,...,m$$

$${\int }_a^b{x}^{m+1}dx\ne \sum _{k=0}^n{A}_k{x}_k^{m+1}$$
则称此公式具有$m$次代数精度.
可见, 若公式具有$m$次代数精度,则公式对所有次数不超过$m$的多项式都精确成立.
$n+1$个节点的插值型求积公式至少具有**$n$次代数精度**,$n$是偶数时$Newton-Cotes$公式具有$n+1$次代数精度.

定理6.1 Gauss型求积公式的一般理论

区间$[a,b]$上权函数为$\rho (x)$的具有$n$个节点的数值积分公式代数精度不超过$2n-1$次.

证明

若记$x_1,x_2,\dots x_n$为求积节点,则积分公式为 $${\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$取$2n$次多项式$p(x)=(x-x_1{)}^2(x-x_2{)}^2...(x-x_n{)}^2$,则有$$0<{\int }_a^{b}p(x)\rho (x)dx\ne \sum _{k=1}^n{A}_{k}p(x_k)=0$$所以，求积公式的代数精度不超过$2n-1$.

定义6.2 $Gauss$型求积公式

使求积公式具有$2n-1$次代数精度的节点$x_1,x_2,\dots x_n$称为$Gauss$点,此时的插值型求积公式称为$Gauss$型求积公式.

定理6.2 $Gauss$点定理

对区间$[a,b]$上权函数为$\rho (x)$的积分
$$I={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx$$
区间$[a,b]$上权函数为$\rho (x)$的正交多项式$p_n(x)$的$n$个零点$x_1,x_2,\dots x_n$恰为$Gauss$点.

构造方法

1.求$\left[a,b\right]$上权函数为$\rho (x)$的$n$次正交多项式KaTeX parse error: Undefined control sequence: \p at position 1: \̲p̲_n(x);
2.求KaTeX parse error: Undefined control sequence: \p at position 1: \̲p̲_n(x)=0的$n$个零点，作为$Gauss$点;$x_1,x_2,...,x_n$;
3.计算系数$A_i={\int }_a^b\rho (x)l_i(x)dx,i=1,2,...,n.$;
4.给出结果$${\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx\approx \sum _{i=1}^n{A}_{i}f(x_i)$$
5.计算余项步骤
1>构造$2n-1$次$Hermite$插值多项式$H_{2n-1}(x)$使$H_{2n-1}(x_i)=f(x_i)$,$H_{2n-1}^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)$.则$R_{2n-1}(x)=\frac{f^{(2n)}({\xi }_x)}{(2n)!}{\omega }_n^2(x)$.
因为$Gauss$型求积公式具有$2n-1$次代数精度，所以有$${\int }_a^b{H}_{2n-1}(x)\rho (x)dx=\sum _{i=1}^n{A}_i{H}_{2n-1}(x_i)$$
2>
$$\begin{array}{rl}R[f]& ={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx-\sum _{i=1}^n{A}_{i}f(x_i)\\ & ={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx-\sum _{i=1}^n{A}_i{H}_{2n-1}(x_i)\\ & ={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx-{\int }_a^b{H}_{2n-1}(x)\rho (x)dx\\ & ={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)\frac{f^{(2n)}({\xi }_x)}{(2n)!}{\omega }_n^2(x)dx\\ & =\frac{f^{(2n)}({\eta }_x)}{(2n)!}{\int }_a^b{\omega }_n^2(x)\rho (x)dx\end{array}$$