数值分析 第六章 数值积分

本文详细介绍了数值积分中的求积公式,包括Newton-Cotes公式、Simpson公式、Cotes公式及其复化版本,并深入探讨了Gauss型求积公式的原理与构造方法。

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求积公式

一般形式

baf(x)dx=k=0nAk+R[f]k=0nAk

插值型求积公式

Ak=balk(x)dx

R[f]=1(n+1)!baf(n+1)(ξx)ωn+1(x)dx,ξx(a,b)x

Newton-Cotes公式

形式

baf(x)dx(ba)k=0nC(n)kyk

C(n)k=Akba=(1)nkn!(nk)!n0i=0ikn(ti)dt

R[f]=f(n+1)(η)(n+1)!baωn+1(x)dx,f(n+2)(η)(n+2)!baxωn+1(x)dx,nn
Cotes系数表
n \ k01234
11212
2164616
318383818
479016452151645790
梯形求积公式

n=1时,Newton-Cotes公式就成了梯形求积公式,如下:

T:baf(x)dxba2[f(a)+f(b)],|R[f]|(ba)312M2

说明:M2代表f(x)的二阶导数的最大值。
Simpson求积公式

n=2时,Newton-Cotes公式就成了Simpson求积公式,如下:

S:baf(x)dxba6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]

|R[f]|(ba)52880M4

说明:M4代表f(x)的四阶导数的最大值。
Cotes求积公式

n=4时,Newton-Cotes公式就成了Cotes求积公式,如下:

C:baf(x)dxba90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]

|R[f]|(ba)71935360M6

说明:M6代表f(x)的六阶导数的最大值。

复化求积公式

把积分区间划分为n个小区间,则每小段区间长度h=banI=baf(x)dx.

复化梯形求积公式

对梯形求积公式进行复化,可以得到:

Tn=h2[f(a)+2k=1n1f(xk)+f(b)]

|ITn|(ba)312n2M2

其中,xk=a+khM2代表f(x)的二阶导数的最大值。

复化Simpson求积公式

Simpson求积公式进行复化,可以得到:

Sn=h6[f(a)+4k=1nf(xk12)+2k=1n1f(xk)+f(b)]

|ISn|(ba)52880n4M4

其中,xk=a+khxk12=a+(k12)hM4代表f(x)的四阶导数的最大值。

复化Cotes求积公式

Cotes求积公式进行复化,可以得到:

Cn=h90[7f(a)+32k=1n(f(xk34)+f(xk14))+12k=1nf(xk12)+14k=1n1f(xk)+7f(b)]

|ICn|(ba)71935360n6M6

其中,xk=a+khxk34=a+(k34)hxk12=a+(k12)hxk14=a+(k14)hM6代表f(x)的六阶导数的最大值。

Gauss型求积公式

定义6.1 代数精度

若求积公式

baf(x)dxk=0nAkf(xk)
f(x)=xj都精确成立,(j=0,1,2,...,m),但是对f(x)=xm+1不精确成立,即
baxjdx=k=0nAkxjk,j=0,1,2,...,m

baxm+1dxk=0nAkxm+1k

则称此公式具有m次代数精度.
可见, 若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.
n+1个节点插值型求积公式至少具有n次代数精度,n是偶数时NewtonCotes公式具有n+1次代数精度.

定理6.1 Gauss型求积公式的一般理论

区间[a,b]上权函数为ρ(x)的具有n个节点的数值积分公式代数精度不超过2n1次.

证明

若记x1,x2,xn为求积节点,则积分公式为

baf(x)ρ(x)dxk=1nAkf(xk)
2n次多项式p(x)=(xx1)2(xx2)2...(xxn)2,则有
0<bap(x)ρ(x)dxk=1nAkp(xk)=0
所以,求积公式的代数精度不超过2n1.

定义6.2 Gauss型求积公式

使求积公式具有2n1次代数精度的节点x1,x2,xn称为Gauss点,此时的插值型求积公式称为Gauss型求积公式.

定理6.2 Gauss点定理

对区间[a,b]上权函数为ρ(x)的积分

I=baf(x)ρ(x)dx

区间[a,b]上权函数为ρ(x)的正交多项式pn(x)n个零点x1,x2,xn恰为Gauss点.

构造方法

1.求[a,b]上权函数为ρ(x)n次正交多项式\pn(x);
2.求\pn(x)=0n个零点,作为Gauss点;x1,x2,...,xn;
3.计算系数Ai=baρ(x)li(x)dx,i=1,2,...,n.;
4.给出结果

baf(x)ρ(x)dxi=1nAif(xi)

5.计算余项步骤
1>构造2n1Hermite插值多项式H2n1(x)使H2n1(xi)=f(xi),H2n1(xi)=f(xi).则R2n1(x)=f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x).
因为Gauss型求积公式具有2n1次代数精度,所以有
baH2n1(x)ρ(x)dx=i=1nAiH2n1(xi)

2>
R[f]=baf(x)ρ(x)dxi=1nAif(xi)=baf(x)ρ(x)dxi=1nAiH2n1(xi)=baf(x)ρ(x)dxbaH2n1(x)ρ(x)dx=baf(x)ρ(x)f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x)dx=f(2n)(ηx)(2n)!baω2n(x)ρ(x)dx
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