Ducati做题题集

List

Easy Problem

$CF840D$
$CF1422D$
$P2048$
$P5283$

Good Problem

$P2303$
$P4768$
$CF1416D$
$P5025$

Tips

CF804D

考虑主席树。

每次询问执行主席树上扫描即可。假设本题询问的区间是$[L,R]$，当前扫到的值域区间$[l,r]$。如果左子区间的数在$[L,R]$中出现的次数之和超过了$\frac{R-L+1}{k}$，那么搜索左区间，否则搜索右区间；如果都没超过直接返回。

考虑这么做的时间复杂度是多少。不难发现，对于主席树上的每一层至多只有$k$个位置被扫描到并继续向下进行搜索；所以总时间复杂度是$O(nk\log n)$的。

P2303

通过欧拉反演，不难得到答案为$su{m}_{d|n}\phi (i)\frac{n}{i}$。

直接枚举因数是$O(\sqrt{n})$的，但是单次计算欧拉函数的代价之和很高。并且这个式子不能使用杜教筛来优化。

参考一下根号分治的思想我们不难得到正解。我们通过线性筛求出所有不超过$lim$的数的$\phi$值。我们找到所有$n$的约数$p_i$，如果$p_i$的值不超过$lim$直接调用，否则暴力在根号复杂度内计算$\phi$值。

当$lim$取到$n^{0.72}$的时候可以通过。

CF1422D

考虑规划一条路径为“从一个闪现点到另一个闪现点”，不难发现两点$(a,b)(c,d)$之间的路径距离为$min(|a-c|,|b-d|)$。

但是，如果我们枚举所有的点对并连边的话时间复杂度，并跑最短路的时间复杂度为$O(n^2)$。我们需要优化这个算法。

首先，我们对模型进行一步转化。两点$(a,b)(c,d)$之间我们可以连两条边，边权分别是$|a-c|$和$|b-d|$，这样就将两点之间的边权式子给简化了。同时，我们发现，对于满足横坐标分别为$x_1,x_2,x_3$的$1,2,3$号点，$1$到$2$的距离为$x_2-x_1$，$2$到$3$的距离为$x_3-x_2$，而$1$到$3$的距离是$1$到$2$的距离与$2$到$3$的距离之和！所以，我们根本不用连接$1$与$3$号点。扩展到多个点的情况，我们只需要将横坐标排序并将相邻两个点做连边操作，再对纵坐标排序并将相邻两个点做连边操作即可。

由于边数为$2(n-1)$，点数为$n$，所以跑最短路的复杂度是$O(n\log n)$，可以通过。

P4786

NOI 2018 D1T1竟然是个裸题，NOI 2020 D1T1也是

首先，可爱的Yazid一定是开车到达某个节点$rt$并下车之后步行到终点。

我们建出关于海拔的Kruskal重构树。注意建立的应该是最大生成树而非最小生成树。根据此时重构树的小根堆性质，此时两个点能够互相到达当且仅当它们的LCA的点权大于$p$。

此时我们先考虑一个暴力做法: 在Kruskal重构树上枚举这个LCA，要求这个LCA的点权必须大于$p$；对于所有满足要求的LCA，与$v$异子树的叶节点的$dis$值的最小值即是答案。这里一个节点的$dis$表示它与$1$号节点的最短路径长度。

考虑如何优化这个暴力。首先，$dis$要用Dijkstra预处理出来${}^{①}$。然后，我们处理出每一个子树内的所有叶节点的$dis$的最小值。对于每次询问，我们直接倍增即可求出答案。

时间复杂度为$O(T\times n\log n)$。

①: 这句话是有深意的。这道题是OI历史上的一个里程碑——SPFA的死去。特加这一个注释，悼念已经离我们而去的SPFA算法。事实上，SPFA并没有完全死去，在Johnsen全源最短路、差分约束、负环判定以及一些极其难卡掉(如一些神奇的费用流建图题)或者数据完全随机的题目中有复杂度为线性，有重要的作用。

CF1416D

考虑给每条边一个边权，表示它在什么时候被删去。特别的，对于那些一直没有被删去的边，令它的权值为$q+1$。

然后我们正序扫描一遍所有询问。不难发现第$i$次询问的答案为: 从$u$开始只经过权值不超过$i$的边所能到达的节点的最大点权，并将这个点的点权赋为$0$。

是不是很熟悉这个模型？我们可以建立出一个关于边权的Kruskal重构树。每次查询的符合要求的节点均在一个子树中，这个子树的根可以倍增找到；找到之后，我们需要查询最小值并动态修改，可以采用dfs序+线段树来维护。

时间复杂度$O((n+m)\log n)$，比LCT不知道可爱到哪里去了。

P5025

套路题。

首先考虑暴力做法。先$O(n^2)$建图，然后缩点并执行一次拓扑排序($dp$)。

考虑如何优化。不难发现这个连边有一个性质: 每个节点连向的点都在一个区间中。所以可以采用线段树来优化这个建图。线段树优化的建图同样可以缩点，只不过每个点本身都有一个权值。

我们可以通过二分找到每次连边的区间$[l,r]$。时间复杂度为$O(n\log n)$。

P2048

大套路题，然而我不会。

令$pr{e}_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j$，那么不难得到${\sum }_{i=l}^r{a}_i=pr{e}_r-pr{e}_{l-1}$。于是我们将题目做一个转化——在序列中选$k$对差在$l$到$r$之间的数，可以多次重复选择同一个数，使得每一对数的后者的$pre$减去前者的$pre$之和最大。

我们维护许多五元组$(l,x,y,pos,val)$，表示选取的第一个位置$l$，第二个位置在$[x,y]$区间中；满足$pr{e}_{pos}-pr{e}_l$最大的位置为$pos$且这个最大值为$val$。

我们将这些五元组扔进一个大根堆中。每次我们取出堆顶，并将这个区间拆分为两个形如$(l,x,pos-1,po{s}^{\prime },va{l}^{\prime })$的子五元组，分别重新计算这两个子区间的$po{s}^{\prime }$与$va{l}^{\prime }$。

采用RMQ来快速计算即可，时间复杂度为$O(n\log n+k\log n)$。

异或粽子这题只需要将RMQ求区间最大值改为可持久化Trie树上查询，时间复杂度为$O(n\log m+k\log n\log m)$，其中$m$为所有$a_i$的最大值。