Leetcode【动态规划】| 837. 新21点

题目

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
示例 1
　输入：N = 10, K = 1, W = 10
　输出：1.00000
　说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
　输入：N = 6, K = 1, W = 10
　输出：0.60000
　说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
　在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
　输入：N = 21, K = 17, W = 10
　输出：0.73278
提示：
　1. 0 <= K <= N <= 10000
　2. 1 <= W <= 10000
　3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
　4. 此问题的判断限制时间已经减少。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game

解题

思路

 题目分析：每次抽取 [1, W] 中的一个数，直到抽出分数总数在>=K的时候<=N的概率。
　运用动态规划的思想，设dp[i]表示从已得分i开始游戏可获胜的概率，该题求解的就是dp[0]。 从概率为1的情况和概率为0的情况这两种边界情况倒推出中间各个概率的情况。
　在游戏中，dp[i]的i最大取值为结束游戏的那一步的最大取值，假设倒数第二步正好是<K的最大数K-1，最后一步为可选择的最大值W，所以i在该游戏中取值最大值为K-1+W（K-1+W必然>K）。
　**概率为0的情况：**当i大于N的时候必然不满足条件，概率为0，i超过游戏中最大步数，即>K-1+W时概率也为0。所以当i>min(K-1+W，N)时，dp[i] = 0。
　概率为1的情况：满足游戏条件(i<K-1+W)且结束游戏(i>K)且i小于N是，满足条件，概率为1。所以当i∈[K，min(K-1+W，N)]时，dp[i] = 1。
　中间各种概率的情况： 当i∈[0，K) 时，它可以用再走一步再开始游戏的概率递推而来（下一步选择[1,W]中的任意一个数的情况，即dp[i+x] ，x∈[1,W] 总共有W种情况，也有W个dp概率）。可以得到以下状态转移方程
　$$dp[i]=\frac{dp[i+1]+dp[i+2]+dp[i+3]+\cdots +dp[i+W]}{W}(i\in [0，K))$$
　因为上述递推公式每一步都要计算其后的W种情况的dp，复杂度太高，会超时，所以对这个递推公式进行简化：
　$$dp[i]-dp[i+1]=\frac{dp[i+1]+dp[i+2]+dp[i+3]+\cdots +dp[i+W]}{W}-\frac{dp[i+2]+dp[i+3]+dp[i+4]+\cdots +dp[i+W+1]}{W}=\frac{dp[i+1]-dp[i+W+1]}{W}$$
　$$dp[i]=dp[i+1]+\frac{dp[i+1]-dp[i+W+1]}{W}=dp[i+1]-\frac{dp[i+W+1]-dp[i+1]}{W}(i\in [0，K-1))$$
　因为存在dp[i+1]，所以i+1 ∈[0，K) ，所以 i ∈[0，K-1），简化的递推公式不包含i = K-1的情况。K-1的情况还用原始的递推公式来单独计算：
　$$dp[K-1]=\frac{dp[K]+dp[K+1]+dp[K+2]+\cdots +dp[K+W]}{W}$$
　i = K-1的情况由i∈[K，K+W]的情况递推而来，而i∈[K，K+W]的情况有概率为1和概率为0两种情况的dp相加可得（dp[K+W]必然等于0，所以一定存在概率为0的情况），概率为0的忽略，概率为1只有i∈[K，min(K-1+W，N)]，所以相加的结果就是min(K-1+W，N)-K+1
　$$dp[K-1]=\frac{min(K-1+W，N)-K+1}{W}=\frac{min(W，N-K+1)}{W}$$
　综上，对i的所有情况的dp[i]进行总结：
　$$dp[i]=\{\begin{array}{ll}dp[i+1]+\frac{dp[i+1]-dp[i+W+1]}{W}=dp[i+1]-\frac{dp[i+W+1]-dp[i+1]}{W},& \text{i ∈[0，K-1)}\\ \frac{min(W，N-K+1)}{W},& \text{i = K-1}\\ 1,& \text{i ∈ [K，min(K-1+W，N)]}\\ 0,& \text{i ∈ (min(K-1+W，N)，∞)}\end{array}$$

Java实现

class Solution {
    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        //动态规划，从后往前推，从概率为1（必然）到概率为0一步步 一次次抽取的推
        //判断特殊情况
        if(K == 0) return 1.0;//K=0根本不会开始抽取数字，结束游戏时总分数就为0肯定<=N
        //设置动态规划数组
        double[] dp = new double[K+W];//dp[i]的i取值从0到K-1+W一共K+W个数
        int m = Math.min(K-1+W,N);
        //i>m的取值
        for(int i = m+1; i<=K-1+W; i++){
            dp[i] = 0;
        }
        //K<=i<=m的取值
        for(int i = K; i <= m;i++){
            dp[i] = 1;
        }
        //i = K-1的取值：
        dp[K-1] = 1.0*Math.min(W,N-K+1)/W;
        //0<=i<=K-2的取值
        for(int i = K-2; i >=0; i--){
            dp[i] = dp[i+1]-(dp[i+W+1]-dp[i+1])/W;
        }
        return dp[0];
    }
}

参考：力扣官方题解