837. 新 21 点

解决 21 点游戏变种问题的动态规划解法

题目描述

在本题中，爱丽丝参与了一个大致基于纸牌游戏“21点”规则的游戏。她从0分开始，每次抽取一个随机数（范围为 1 到 maxPts）并累计分数。每当她的得分达到或超过一个阈值 k 时，游戏结束。问题要求我们计算爱丽丝的得分不超过 n 的概率。

具体规则如下：

• 爱丽丝从得分 0 开始。
• 她每次抽取一个 1 到 maxPts 之间的整数作为分数，并将其加入当前得分。
• 每次抽取的数字是独立且均匀分布的。
• 爱丽丝将在她的得分达到或超过 k 时停止抽取。
• 问题要求计算她的得分不超过 n 的概率。

解题分析

这个问题本质上是一个概率计算问题，需要在动态变化的状态下计算特定得分区间内的概率。由于每次抽取的数字在固定范围内，因此我们可以通过动态规划（DP）来解决这个问题。DP的核心思想是将问题拆解为更小的子问题，每个子问题计算某一状态下的概率，最终合成出完整的解。

动态规划解法

动态规划状态设计

我们首先设计一个数组 dp[i] 来表示爱丽丝得分为 i 时，游戏结束的概率。我们的目标是计算从得分 0 开始时，最终得分不超过 n 的概率。显然，得分大于等于 k 时，游戏就结束了。