分治算法主定理

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#分治算法 #算法 #归并排序

分治算法主定理是指把一个问题划分成多个子问题，每个子问题是原问题的一部分，然后执行一些额外的工作来计算出最后的答案。
如果问题的递归形式是：
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例如，归并排序算法计算两个子问题，每个子问题都是原问题规模的一半，然后用O(n)时间的额外工作完成归并。
运行时间为：
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分治法——主定理(Divide and Conquer - The Master Theorem)
UoM_XiaoShuaiShuai的博客
06-10 1849
分治法——主定理(Divide and Conquer - The Master Theorem)Divide-and-Conquer Recurrences What is the time required to solve a problem of size n by divide-and-conquer?Generally, we split the problem into b smal
分治和主定理的推导
笨手笨脚°的博客
03-18 2043
不想看文字的可以在B站看详细的讲解，点击蓝字->分治和主定理的推导 分治的基本思想 分治法能解决的问题一边具备以下几个特征分治法的时间复杂度分析 那么现在要做的就是要根据这个递推方程求出T(n)。 在这里要引入一个概念——递归树。 例如，根据左边的递推方程构建出来的递归树如右图所示： 树的权值为合并子问题所需要的时间。 理解了递归树之后我们来求解T(n)。 现在来化简T(n)。 ...
分治算法——主定理使用
qq_37657182的博客
12-01 868
主定理描述
第四章 分治策略 4.6 证明主定理
weixin_43172803的博客
03-17 910
4.6 证明主定理 一. 1.   当我们在一个局限的值域上使用渐近符号时，必须要时刻小心，避免得到错误的结论。例如：对 nnn 是 222 的幂的情况证明 T(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n)=O(n) 并不保证 T(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n)=O(n) 。函数 T(n)T(n)T(n) 可能是这样定义的： T(n)={n若 n=1,2,4,8,...n2其他T(...
主定理的证明及应用举例
sinat_22510827的博客
09-22 1634
主定理 主定理最早出现在《算法导论》中，提供了分治方法带来的递归表达式的渐近复杂度分析。 规模为n的问题通过分治，得到a个规模为n/b的问题，每次递归带来的额外计算为c(n^d)T(n) <= aT(n/b)+c(n^d) 那么就可以得到问题的复杂度为： T(n) = O(n^d log(n)), if a = b^d T(n) = O(n^d ), if a < b^d T(n) = O(n^logb(a))), if a > b^d 证明方法 本来使用主定理是可以免去画递归树
【算法王-5】主定理证明-MIT Charles教授亲授
m0_69378371的博客
11-29 1060
情况 1：当 f(n)=O(nd)f(n) = O(n^d)，其中 d
C语言分治算法求中位数,【算法复习】分治算法
weixin_42499586的博客
05-25 1917
Outline分治思想和递归表达式大整数乘法矩阵乘法的Strassen算法快速傅里叶变化基于分治的排序merge-sort排序快速排序排序的下界问题中位数和顺序统计量最邻近点对凸包Notes## 分治思想和递归表达式【分治思想】算法将一个问题分解为与原问题类似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，而后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：编程divide...
信息学竞赛之分治算法.doc
05-06
- 分治算法的复杂性分析通常涉及递归树和主定理。通过分析分治过程中的工作量和子问题数量，可以确定算法的时间复杂度。 5. **最优性证明** - 在某些问题上，分治算法能实现最优解，比如最小最大问题和排序问题。...
矩阵（斐波那契数列和Strassen矩阵）下的分治算法及其分治算法的改进（上）
qq_41926985的博客
04-14 1591
我昨天在想，应试教育真的会把知识学死吗。我认为这只是一个借口，教育本来就不是活的，如果我们不主动去思考，去应用。而只是一味的为了考试而去学习，当然会把知识学的没有用处。所以说不是应试教育把知识学死了，而是你把知识学死了。 《增广贤文》里面有一句老话是：师傅领进门，修行在个人。前辈将知识传给我们，我们是要在其上进行再提炼，发展到我们的当代生活中。所以才有我们现在的美好生活。文化这个东西是不断再传承的...
分治算法中的主定理及其应用
qq_36771396的博客
11-30 1404
学习递归算法的时候，找到了用来计算算法复杂度的主定理。问大语言模型，发现回答的主定理描述有所不同。本文比较了两个不同版本中表述的差异。并给出一些例子用来计算分治递归类算法的复杂度。
分治算法时间复杂度计算（主定理）
Devotion_dream的博客
07-03 5210
在计算机科学中，主定理（Master Theorem）用于解决递归关系的渐进界。特别是在分析分治算法的复杂度时，主定理提供了一种简便的方法来确定递归方程的时间复杂度。Tna×Tbn​fna≥1b1fn：如果fnOnc其中clogb​aTnΘnlogb​a：如果fnΘnc其中clogb​aTnΘnclognΘnlogb​alogn：如果fnΩnc其中clogb。
主定理(Master Theorem)
Melody_Gogo的博客
12-08 5139
主定理是分析分治算法时间复杂度很重要的一个定理。 我们之前对于一个递归类的代码进行时间复杂度分析，一般会采用递归树的方式，下面我们先介绍一下递归树的方式，理解之后，再引入主定理的相关内容。 分治的介绍 分治算法总是将问题的规模不断的拆分，以归并排序为例。 假设T(n)T(n)T(n)代表原问题的规模，nnn为输入数据的规模。 第一次拆分后，假设拆分成两份，规模就变成了n2\frac{n}{2}2n​​，然后各自再递归调用归并排序，这部分时间复杂度为2T(n2)2T(\frac{n}{2})2T(2n​)，最
Master Theorem主定理——递归与分治算法复杂度分析
坤斤拷的博客
03-01 1525
在递归与分治的算法复杂度分析时，通常可得到一个递推公式，形如： 其中为问题的规模，为递归的子问题的数量，为子问题的规模，为每次递归带来的额外计算的函数。要计算这个式子，有以下三种情形： 当，，则 当，，则 当，，且对于任意，有，则 举个例子，现有，根据情形1，有。 关于主定理的证明可以参考主定理证明，这里不做展开。另外，情形2对于任意k，又有三种情形，可以参考维基百科。 ...
分治算法整理
mawangjiayou的博客
02-10 682
算法设计与分析，分治算法整理。
主定理
yuanba_xs的博客
03-13 578
主定理  d  n=2 T(n) = aT(n/c)+bn^x n>2  θ(n^x)  a T(n) =  θ(n^x*logn) a=n^x  θ(n^logc(a)) a>n^x
【算法】分治算法
高朗的博客
10-22 1839
文章目录基本思想复杂度分析二分搜索：有序数列快速排序随机快速排序归并排序 基本思想 定义：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 总体思想： 将待求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题 对这k个子问题分别求解 如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归进行下去直到问题规模足够小、可以直接求出其解为止 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解 适用条件： 分治法所能解决的问题一般具有
【算法分析】分治法详解+范例+习题解答
司六米希的博客
06-17 4434
将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破， 分而治之 1.4主定理Master Theorem 将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 T(n)=Θ(nlogn) 渐进意义下的最优算法给已排好序的n个元素中寻找特定元素xA和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为 传统方法：O(n3)【计算时，三个for循环】为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数 请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数
算法思想 - 分治算法主定理
oschina_41731918的博客
10-30 1206
分治算法（divide and conquer）是一种递归算法设计技术，其基本思想是将一个难以直接解决的大问题分解成若干个规模较小的相同问题来解决，然后将小问题的解决结果合并以解决原来的大问题。
算法用主定理求解
最新发布
06-09
### 使用主定理分析算法时间复杂度 主定理是一种用于分析分治算法时间复杂度的工具。对于一个分治算法，通常可以将其时间复杂度表示为递归式： \[ T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) \] 其中： - \( a \geq 1 \) 是每个子问题被分解后的数量。 - \( b > 1 \) 是每个子问题相对于原问题规模缩小的比例。 - \( f(n) \) 是合并子问题解所需的额外工作量。 根据主定理，可以通过比较 \( f(n) \) 和 \( n^{\log_b a} \) 的增长速度来确定 \( T(n) \) 的渐进复杂度[^1]。 以下是主定理的三种情况： #### 情况 1 如果 \( f(n) = O\left(n^{\log_b a - \epsilon}\right) \)，其中 \( \epsilon > 0 \)，那么： \[ T(n) = \Theta\left(n^{\log_b a}\right) \] #### 情况 2 如果 \( f(n) = \Theta\left(n^{\log_b a} \cdot \log^k n\right) \)，其中 \( k \geq 0 \)，那么： \[ T(n) = \Theta\left(n^{\log_b a} \cdot \log^{k+1} n\right) \] #### 情况 3 如果 \( f(n) = \Omega\left(n^{\log_b a + \epsilon}\right) \)，其中 \( \epsilon > 0 \)，并且满足正则条件（即 \( a \cdot f\left(\frac{n}{b}\right) \leq c \cdot f(n) \) 对于某个常数 \( c < 1 \)），那么： \[ T(n) = \Theta(f(n)) \] 在实际应用中，首先需要明确递归式的 \( a \)、\( b \) 和 \( f(n) \)，然后根据上述三种情况进行匹配以得出时间复杂度[^2]。 例如，考虑快速排序的时间复杂度递归式： \[ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) \] 这里 \( a = 2 \)，\( b = 2 \)，\( f(n) = O(n) \)。计算得 \( n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n \)。由于 \( f(n) = \Theta(n) \)，符合第二种情况，因此时间复杂度为 \( T(n) = \Theta(n \log n) \)[^1]。 ```python def quick_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr else: pivot = arr[len(arr) // 2] left = [x for x in arr if x < pivot] middle = [x for x in arr if x == pivot] right = [x for x in arr if x > pivot] return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) ```
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