【算法王-5】主定理证明-MIT Charles教授亲授

证明主定理通常涉及到数学归纳法，借助渐近分析来推导递归式的具体解。主定理给出的递归式通常是分治型递归，形如：

T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = a T\left(\frac{n}{b}\right) + f(n)

我们需要通过对比 f(n)f(n) 与 nlog⁡ban^{\log_b a} 来确定最终的时间复杂度。我们来分别证明主定理的三种情况。

主定理的三种情况

1. 情况 1：如果 f(n)=O(nd)f(n) = O(n^d)，其中 d<log⁡bad < \log_b a，则 T(n)=O(nlog⁡ba)T(n) = O(n^{\log_b a})。
2. 情况 2：如果 f(n)=Θ(nd)f(n) = \Theta(n^d)，其中 d=log⁡bad = \log_b a，则 T(n)=Θ(ndlog⁡n)T(n) = \Theta(n^d \log n)。
3. 情况 3：如果 f(n)=Ω(nd)f(n) = \Omega(n^d)，其中 d>log⁡bad > \log_b a 且 af(n/b)≤kf(n)a f(n/b) \leq k f(n) 对于某个常数 k<1k < 1 和足够大的 nn，则 T(n)=Θ(f(n))T(n) = \Theta(f(n))。

证明主定理的三种情况

情况 1： f(n)=O(nd)f(n) = O(n^d)，其中 d<log⁡bad < \log_b a