Hamming code的检错、纠错原理

最新推荐文章于 2025-05-19 08:23:35 发布

原创最新推荐文章于 2025-05-19 08:23:35 发布 · 7k 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

本文详细介绍了海明码的检错和纠错原理，通过理论分析和举例说明了码距为3和4的海明码在检错、纠错上的能力。码距为3的海明码能检错2位，纠错1位（未知具体哪位出错），而码距为4的海明码不仅能检错2位，还能确定并纠错1位。通过计算和校验过程，展示了海明码如何在接收端检测和纠正错误。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、前言

书上、网上大多只有以下没加粗的两句话，经过我的一番理解之后又加上了小括号里的那两句话：

注意“检错”和“纠错”的区别，检错只能检测到这一串数字里错了几位，并不知道是哪几位错了，而纠错能知道具体是哪一位错了，所以能够纠正过来。

$\geq C$

其中 $L$ 是编码最小码距， $D$ 是检错的位数， $C$ 是纠错的位数，且纠错能力恒小于等于检错能力。如果出错的位数大于等于码距，则校验码可能无法正常检错、纠错，所以思考这些出错位数过多的情况是没有意义的。

码距为3的海明码有 $L - 1 = 2 = D + C$ ，所以 $D + C$ 的可能的组合有两种，一种是 $D = 2$ 且 $C = 0$ ，一种是 $D = 1$ 且 $C = 1$ ，但具体是哪种情况并不知道。
码距为4的海明码有 $L - 1 = 3 = D + C$ ，所以 $D + C$ 的可能的组合也有两种，一种是 $D = 3$ 且 $C = 0$ ，一种是 $D = 2$ 且 $C = 1$ ，但具体是哪种情况并不知道。

码距为4的海明码比码距为3的海明码多了一位奇偶校验位，所以码距多了1。这个奇偶校验位将码距为3的海明码的每一位（包括信息位和校验位）作为信息位进行校验。

假设信息位为1010B，则对应的码距为3的海明码各位的分布如下（其中 $D_{n}$ 代表信息位， $P_{n}$ 代表校验位）：

H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D4	D3	D2	P3	D1	P2	P1
1	0	1	0	0	1	0

校验位的计算过程如下：

$P1=D1⊕D2⊕D4=0⊕1⊕1=0P_{1}=D_{1} \oplus D_{2} \oplus D_{4}=0 \oplus 1 \oplus 1=0$

$P2=D1⊕D3⊕D4=0⊕0⊕1=1P_{2}=D_{1} \oplus D_{3} \oplus D_{4}=0 \oplus 0 \oplus 1=1$

$P3=D2⊕D3⊕D4=1⊕0⊕1=0P_{3}=D_{2} \oplus D_{3} \oplus D_{4}=1 \oplus 0 \oplus 1=0$

校验方程如下：

$S1=P1⊕D1⊕D2⊕D4S_{1}=P_{1} \oplus D_{1} \oplus D_{2} \oplus D_{4}$

$S2=P2⊕D1⊕D3⊕D4S_{2}=P_{2} \oplus D_{1} \oplus D_{3} \oplus D_{4}$

$S3=P3⊕D2⊕D3⊕D4S_{3}=P_{3} \oplus D_{2} \oplus D_{3} \oplus D_{4}$

接收方收到海明码后计算出 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 后可能有如下取值：

$S_{3}S_{2}S_{1}=000B$ ：没有出错（在只有1位或者2位可能出错的前提下）
$S_{3}S_{2}S_{1}=001B$ ： $H_{1}(P_{1})$ 出错（对应 $D = 1$ 且 $C = 1$ ），或者， $H_{6}(D_{3})$ 和 $H_{7}(D_{4})$ 同时出错（对应 $D = 2$ 且 $C = 0$ ），或者， $H_{2}(P_{2})$ 和 $H_{3}(D_{1})$ 同时出错（对应 $D = 2$ 且 $C = 0$ ），或者其它情况
$S_{3}S_{2}S_{1}=011B$ ： $H_{3}(D_{1})$ 出错，或者， $H_{1}(P_{1})$ 和 $H_{2}(P_{2})$ 同时出错，或者， $H_{4}(P_{3})$ 和 $H_{7}(D_{4})$ 同时出错，或者其它情况
$S_{3}S_{2}S_{1}=…$ ：其它类似情况，这里不再赘述

如果我们假设一串码距为3的海明码在传输过程中只有一位会出错（对应 $D = 1$ 且 $C = 1$ ），则我们可以利用码距为3的海明码纠错1位；如果假设可能有多位会出错（对应 $D = 2$ 且 $C = 0$ ），那么码距为3的海明码只能检错不能纠错。
但对于码距为4的海明码来说，由于增加了1位奇偶校验位，所以在假设只有1位或者2位出错的情况下（对应 $D = 2$ 且 $C = 1$ ）我们会知道是错了1位还是2位。但如果奇偶校验位也出错了，那么这种情况是未知的，所以也可能是有3位出错了（对应 $D = 3$ 且 $C = 0$ ）。