补码一位乘法公式的推导

最新推荐文章于 2025-01-10 10:24:03 发布

Charming Sun

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本文深入探讨了补码一位乘法的公式及其递推式，通过证明展示了当y为非负和负数时的计算过程，并得出递推公式。此外，还附带证明了负数的补码表示等于其正数补码的相反数。

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一、公式及其递推式

补码一位乘法公式如下：
$\begin {array}{ll} [x]_{补}&=x_{0}.x_{1}x_{2}...x_{n}\\ [y]_{补}&=y_{0}.y_{1}y_{2}...y_{n}\\ [x·y]_{补}&=[x]_{补}·(-y_{0}+\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}2^{-i})\\ \end {array}$
对上式进行变换：
$\begin {array}{ll} [x·y]_{补}&=[x]_{补}·(-y_{0}\,+y_{1}2^{-1}\qquad\quad+y_{2}2^{-2}\qquad\qquad\ \,+...+y_{n}2^{-n})\\ &=[x]_{补}·[-y_{0}\;+(y_{1}-y_{1}2^{-1})+(y_{2}2^{-1}-y_{2}2^{-2})+...+(y_{n}2^{-(n-1)}-y_{n}2^{-n})]\\ &=[x]_{补}·[(y_1 - y_0)\ \ \,+(y_2 - y_1)2^{-1}\quad\ \ \ +...+\ (y_{n}-y_{n-1})2^{-(n-1)}+(y_{n+1}-y_{n})2^{-n}]&\qquad(其中y_{n+1}=0)\\ &=[x]_{补}·\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i+1}-y_{i})2^{-i} \end {array}$
所以递推公式如下：
$\begin {array}{lll} [z_{0}]_{补}&=0\\ [z_{1}]_{补}&=2^{-1}\{[z_0]_{补}\quad+(y_{n+1}-y_{n})[x]_{补}\}&(其中y_{n+1}=0)\\ &...\\ [z_{i}]_{补}&=2^{-1}\{[z_{i-1}]_{补}\,+(y_{n-i+2}-y_{n-i+1})[x]_{补}\}\\ &...\\ [z_{n}]_{补}&=2^{-1}\{[z_{n-1}]_{补}+(y_2 - y_1)[x]_{补}\}\\ [z_{n+1}]_{补}&=\qquad[z_n]_{补}\ \ \ \,+(y_1 - y_0)[x]_{补}&=[x·y]_{补}\\ \end {array}$

当 $y≥0y\geq0$ 时有：（注意以下都是模为2的运算，所以2的公倍数都等价于2）
$\begin {array}{rll} [x·y]_{补}&=2+x·y\\ &=2^{n+1}+x·y\\ &=2^{n+1}·y+x·y\qquad &(其中y=0.y_1y_2...y_n，所以2^{n+1}·y=y_1y_2...y_n0.0)\\ &=(2^{n+1}+x)·y &(因为2^{n+1}·y\%2=0)\\ &=(2+x)·y\\ &=[x]_{补}·y\\ \end {array}$
当 $y < 0$ 时有：
$\begin {array} {l} \because [y]_{补}=2+y\\ \therefore y=[y]_{补}-2=(1.y_1y_2...y_n)-2=(0.y_1y_2...y_n)-1\\ \therefore x·y=x·(0.y_1y_2...y_n)-x\\ \therefore [x·y]_{补}=[x·(0.y_1y_2...y_n)-x]_{补}=[x·(0.y_1y_2...y_n)]_{补}-[x]_{补} \qquad(其中[-x]_{补}=-[x]_{补})\\ 又\because (0.y_1y_2...y_n)\geq 0，且y\geq 0时有[x·y]_{补}=[x]_{补}·y\\ \therefore [x·(0.y_1y_2...y_n)]_{补}=[x]_{补}·(0.y_1y_2...y_n)\\ \therefore [x·y]_{补}=[x]_{补}·(0.y_1y_2...y_n)-[x]_{补}\\ \end {array}$
综合上面1、2两点可得：
$\begin {array} {rl} [x·y]_{补}&=[x]_{补}·(0.y_1y_2...y_n)-[x]_{补}·y_0\\ &=[x]_{补}·[-y_0+(0.y_1y_2...y_n)]\\ &=[x]_{补}·(-y_{0}+\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}2^{-i})\qquad证毕. \end {array}$

接下来来证明 $x]_{补}=-[x]_{补}$ ：

$x$ 为纯小数时：
$\begin {array} {l} -1 \le x <0时，[-x]_{补}=-x=-2-x=-(2+x)=-[x]_{补};\\ 0 \le x <1时，\ \ \;[-x]_{补}=2+(-x)=-x=-[x]_{补}。\\ \end {array}$
$x$ 为纯整数时：
$\begin {array} {l} -2^n \le x \le 0时，[-x]_{补}=-x=-2^{n+1}-x=-(2^{n+1}+x)=-[x]_{补};\\ 0 \le x <2^n时，\ \ \ [-x]_{补}=2^{n+1}+(-x)=-x=-[x]_{补}。\\ \end {array}$