【拓扑排序+动态规划】例题及解题报告

1 模版介绍

拓扑排序+动态规划结合使用可以求有向无环图的最长路或最短路。

1. 数据存储：
   · din数组：存储各顶点入度数。
   · q队列：让入度为0的点入队，进行拓扑排序。
   · score数组：存储以顶点v为终点的最值。
   · ans变量：存储最长路或最短路的值。
   · G数组：邻接表（也可以用链式前向星）。
   · W数组：与G数组下标对应，存储权值。

2. 算法过程：
   step 1：输入各边的起点、终点和权值。更新数组din、G和W。
   step 2：如果求最长路，初始化score数组元素为一个较小的值（求最长路反之）。
   step 3：通过判断din的值，让入度为0的点进入队列。
   step 4：使用拓扑排序求最值：
   1）获取队头元素存在ft中，队头元素出队。
   2）用循环变量i遍历邻接表G[ft]，令din[G[ft][i]]–。更新ans的值为min(ans,score[ft]+W[ft][i])。同时也要对score[G[ft][i]]做更新，score[G[ft][i]]=min(score[G[ft][i]],score[ft]+W[ft][i])。
   3）判断如果G[ft][i]的入度为0，则该点入队
   一直这样做，直到队列为空。
   step 5：输出ans。

3. 算法解释：
   求最值我们常用动态规划，动态规划要有最优子结构，并且无后效性，为了做到这一点，我们可以用拓扑排序把先遍历到的节点最值确定再扩展到后续节点。
   ① 我们首先让入度为0的点入队，保证起点合法。
   ② 在扩展路径的过程中，我们通过遍历队头元素的邻接表，把所有可能的点都试一遍，如果发现当前节点最值加上邻接的点的值大于当前最值ans，则更新ans。同时，更新邻接的点的最值，以便后续用该点扩展的最值也是正确的。
   ③ 当一个点v的入边全部被遍历后，score[v]便得到了以v为终点的最值。我们这时把点v加入队列，继续扩展。

例题

例题1 洛谷P1807

解题思路（参考洛谷题解）

这道题属于模版题，但是要注意一下题目细节：

输入格式里面说了“每行 3 个整数 u,v,w（u<v），代表存在一条从 u 到 v 边权为 w 的边”，可以知道1号点是没有入边的，因为没有编号小于1。还有一个要注意的点是，可能有除了1号点外入度为0的点，而题目要我们求1，n间的最长路径，所以起点只能是1号点，其他入度为0的点无法抵达，我们要先用拓扑排序把这些点相邻的节点的度数减去。然后节点1入队，再用一次拓扑排序去求最值。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1600
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
long long ans=-inf,n,m,din[maxn],score[maxn];
queue<int> q;
vector<int> G[maxn],W[maxn];
int main(){
   
   
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
   
   
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		G[u].push_back(v);
		W[u].push_back(w);
		din[v]++;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) {
   
   
		score[i]=-inf;
		if(din[i]==0) 
			q.push(i);	
	}
	while(q.size()){
   
   
		int ft=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<G[ft].size();i++){
   
   
			if(--din[G[ft][i]]==0) q.push(G[ft][i]);			
		}
	}
	q.push(1);
	while(q.size()){
   
   
		int ft=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<G[ft].size();i